Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90180 / 24644
↖ ↑ ↗
← N 73.968044°
E 67.686767°		 ← 84.35 m → N 73.968044°
E 67.689514°		 →
↑
84.35 m
↓
↑
84.35 m
↓
N 73.967285°
E 67.686767°		 ← 84.35 m →
7 115 m²		 N 73.967285°
E 67.689514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688022613525391 y=0.188022613525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688022613525391 × 217)
    floor (0.688022613525391 × 131072)
    floor (90180.5)     		tx = 90180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188022613525391 × 217)
    floor (0.188022613525391 × 131072)
    floor (24644.5)     		ty = 24644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90180 / 24644 ti = "17/90180/24644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90180/24644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90180 ÷ 217
    90180 ÷ 131072     		x = 0.688018798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24644 ÷ 217
    24644 ÷ 131072     		y = 0.188018798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688018798828125 × 2 - 1) × π
    0.37603759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18135695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188018798828125 × 2 - 1) × π
    0.62396240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.96023569926334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18135695} λ = 1.18135695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96023569926334))-π/2
    2×atan(7.10100056853008)-π/2
    2×1.43089111605907-π/2
    2.86178223211814-1.57079632675     		φ = 1.29098591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18135695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.686767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29098591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.968044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90180 KachelY 24644 1.18135695 1.29098591 67.686767 73.968044
    Oben rechts KachelX + 1 90181 KachelY 24644 1.18140489 1.29098591 67.689514 73.968044
    Unten links KachelX 90180 KachelY + 1 24645 1.18135695 1.29097267 67.686767 73.967285
    Unten rechts KachelX + 1 90181 KachelY + 1 24645 1.18140489 1.29097267 67.689514 73.967285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29098591-1.29097267) × R
    1.32400000001365e-05 × 6371000     		dl = 84.3520400008695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29098591-1.29097267) × R
    1.32400000001365e-05 × 6371000     		dr = 84.3520400008695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18135695-1.18140489) × cos(1.29098591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.27617344362857 × 6371000     		do = 84.3504783885488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18135695-1.18140489) × cos(1.29097267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276186168671813 × 6371000     		du = 84.3543649442979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29098591)-sin(1.29097267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.27617344362857-0.276186168671813)×R²
    abs(1.18140489-1.18135695)×1.2725043243289e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.2725043243289e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.2725043243289e-05×40589641000000     		ar = 7115.29884665683m²