Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90208 / 24544
↖ ↑ ↗
← N 74.043723°
E 67.763672°		 ← 83.95 m → N 74.043723°
E 67.766418°		 →
↑
83.97 m
↓
↑
83.97 m
↓
N 74.042967°
E 67.763672°		 ← 83.95 m →
7 049 m²		 N 74.042967°
E 67.766418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688236236572266 y=0.187259674072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688236236572266 × 217)
    floor (0.688236236572266 × 131072)
    floor (90208.5)     		tx = 90208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187259674072266 × 217)
    floor (0.187259674072266 × 131072)
    floor (24544.5)     		ty = 24544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90208 / 24544 ti = "17/90208/24544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90208/24544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90208 ÷ 217
    90208 ÷ 131072     		x = 0.688232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24544 ÷ 217
    24544 ÷ 131072     		y = 0.187255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688232421875 × 2 - 1) × π
    0.37646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18269919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187255859375 × 2 - 1) × π
    0.62548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96502938922534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18269919} λ = 1.18269919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96502938922534))-π/2
    2×atan(7.13512228279368)-π/2
    2×1.4315515382751-π/2
    2.8631030765502-1.57079632675     		φ = 1.29230675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18269919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.763672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29230675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.043723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90208 KachelY 24544 1.18269919 1.29230675 67.763672 74.043723
    Oben rechts KachelX + 1 90209 KachelY 24544 1.18274712 1.29230675 67.766418 74.043723
    Unten links KachelX 90208 KachelY + 1 24545 1.18269919 1.29229357 67.763672 74.042967
    Unten rechts KachelX + 1 90209 KachelY + 1 24545 1.18274712 1.29229357 67.766418 74.042967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29230675-1.29229357) × R
    1.3180000000057e-05 × 6371000     		dl = 83.9697800003634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29230675-1.29229357) × R
    1.3180000000057e-05 × 6371000     		dr = 83.9697800003634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18269919-1.18274712) × cos(1.29230675) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.274903733444816 × 6371000     		do = 83.9451620993392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18269919-1.18274712) × cos(1.29229357) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.274916405618681 × 6371000     		du = 83.9490317000751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29230675)-sin(1.29229357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274903733444816-0.274916405618681)×R²
    abs(1.18274712-1.18269919)×1.26721738649693e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.26721738649693e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.26721738649693e-05×40589641000000     		ar = 7049.01925841372m²