Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90240 / 57472
↖ ↑ ↗
← N 21.616579°
E 67.851563°		 ← 283.95 m → N 21.616579°
E 67.854309°		 →
↑
283.89 m
↓
↑
283.89 m
↓
N 21.614026°
E 67.851563°		 ← 283.95 m →
80 610 m²		 N 21.614026°
E 67.854309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688480377197266 y=0.438480377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688480377197266 × 217)
    floor (0.688480377197266 × 131072)
    floor (90240.5)     		tx = 90240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438480377197266 × 217)
    floor (0.438480377197266 × 131072)
    floor (57472.5)     		ty = 57472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90240 / 57472 ti = "17/90240/57472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90240/57472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90240 ÷ 217
    90240 ÷ 131072     		x = 0.6884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57472 ÷ 217
    57472 ÷ 131072     		y = 0.4384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6884765625 × 2 - 1) × π
    0.376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18423317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4384765625 × 2 - 1) × π
    0.123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.386563158536133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18423317} λ = 1.18423317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.386563158536133))-π/2
    2×atan(1.47191335802372)-π/2
    2×0.97403840461466-π/2
    1.94807680922932-1.57079632675     		φ = 0.37728048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18423317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.851563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37728048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.616579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90240 KachelY 57472 1.18423317 0.37728048 67.851563 21.616579
    Oben rechts KachelX + 1 90241 KachelY 57472 1.18428111 0.37728048 67.854309 21.616579
    Unten links KachelX 90240 KachelY + 1 57473 1.18423317 0.37723592 67.851563 21.614026
    Unten rechts KachelX + 1 90241 KachelY + 1 57473 1.18428111 0.37723592 67.854309 21.614026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37728048-0.37723592) × R
    4.45599999999713e-05 × 6371000     		dl = 283.891759999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37728048-0.37723592) × R
    4.45599999999713e-05 × 6371000     		dr = 283.891759999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18423317-1.18428111) × cos(0.37728048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929669925866356 × 6371000     		do = 283.945125063291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18423317-1.18428111) × cos(0.37723592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929686340561251 × 6371000     		du = 283.950138533626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37728048)-sin(0.37723592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929669925866356-0.929686340561251)×R²
    abs(1.18428111-1.18423317)×1.6414694894884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6414694894884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6414694894884e-05×40589641000000     		ar = 80610.3929523914m²