Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 903 / 393
↖ ↑ ↗
← N 38.548166°
E137.460937°		 ← 30.573 km → N 38.548166°
E137.812500°		 →
↑
30.632 km
↓
↑
30.632 km
↓
N 38.272689°
E137.460937°		 ← 30.690 km →
938.299 km²		 N 38.272689°
E137.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.88232421875 y=0.38427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.88232421875 × 210)
    floor (0.88232421875 × 1024)
    floor (903.5)     		tx = 903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38427734375 × 210)
    floor (0.38427734375 × 1024)
    floor (393.5)     		ty = 393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 903 / 393 ti = "10/903/393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/903/393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 903 ÷ 210
    903 ÷ 1024     		x = 0.8818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 393 ÷ 210
    393 ÷ 1024     		y = 0.3837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8818359375 × 2 - 1) × π
    0.763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.39914595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3837890625 × 2 - 1) × π
    0.232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.730174855012695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.39914595} λ = 2.39914595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.730174855012695))-π/2
    2×atan(2.07544347764401)-π/2
    2×1.12179436700708-π/2
    2.24358873401417-1.57079632675     		φ = 0.67279241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.39914595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67279241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.548166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 903 KachelY 393 2.39914595 0.67279241 137.460937 38.548166
    Oben rechts KachelX + 1 904 KachelY 393 2.40528188 0.67279241 137.812500 38.548166
    Unten links KachelX 903 KachelY + 1 394 2.39914595 0.66798443 137.460937 38.272689
    Unten rechts KachelX + 1 904 KachelY + 1 394 2.40528188 0.66798443 137.812500 38.272689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67279241-0.66798443) × R
    0.00480798000000004 × 6371000     		dl = 30631.6405800003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67279241-0.66798443) × R
    0.00480798000000004 × 6371000     		dr = 30631.6405800003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.39914595-2.40528188) × cos(0.67279241) × R
    0.00613593000000012 × 0.782084564710599 × 6371000     		do = 30573.2576479755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.39914595-2.40528188) × cos(0.66798443) × R
    0.00613593000000012 × 0.785071713613263 × 6371000     		du = 30690.0313028396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67279241)-sin(0.66798443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782084564710599-0.785071713613263)×R²
    abs(2.40528188-2.39914595)×0.00298714890266405×R²
    0.00613593000000012×0.00298714890266405×6371000²
    0.00613593000000012×0.00298714890266405×40589641000000     		ar = 938299331.475528m²