Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90368 / 8448
↖ ↑ ↗
← N 82.586106°
E 68.203125°		 ← 39.41 m → N 82.586106°
E 68.205872°		 →
↑
39.37 m
↓
↑
39.37 m
↓
N 82.585752°
E 68.203125°		 ← 39.41 m →
1 552 m²		 N 82.585752°
E 68.205872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689456939697266 y=0.0644569396972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689456939697266 × 217)
    floor (0.689456939697266 × 131072)
    floor (90368.5)     		tx = 90368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0644569396972656 × 217)
    floor (0.0644569396972656 × 131072)
    floor (8448.5)     		ty = 8448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90368 / 8448 ti = "17/90368/8448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90368/8448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90368 ÷ 217
    90368 ÷ 131072     		x = 0.689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8448 ÷ 217
    8448 ÷ 131072     		y = 0.064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689453125 × 2 - 1) × π
    0.37890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19036909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.064453125 × 2 - 1) × π
    0.87109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.73662172550977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19036909} λ = 1.19036909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.73662172550977))-π/2
    2×atan(15.4347540846804)-π/2
    2×1.50609789949907-π/2
    3.01219579899814-1.57079632675     		φ = 1.44139947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19036909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44139947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.586106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90368 KachelY 8448 1.19036909 1.44139947 68.203125 82.586106
    Oben rechts KachelX + 1 90369 KachelY 8448 1.19041703 1.44139947 68.205872 82.586106
    Unten links KachelX 90368 KachelY + 1 8449 1.19036909 1.44139329 68.203125 82.585752
    Unten rechts KachelX + 1 90369 KachelY + 1 8449 1.19041703 1.44139329 68.205872 82.585752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44139947-1.44139329) × R
    6.17999999996677e-06 × 6371000     		dl = 39.3727799997883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44139947-1.44139329) × R
    6.17999999996677e-06 × 6371000     		dr = 39.3727799997883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19036909-1.19041703) × cos(1.44139947) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.129036065258056 × 6371000     		do = 39.4109357182868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19036909-1.19041703) × cos(1.44139329) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.129042193590182 × 6371000     		du = 39.4128074686613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44139947)-sin(1.44139329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.129036065258056-0.129042193590182)×R²
    abs(1.19041703-1.19036909)×6.12833212590425e-06×R²
    4.79400000001906e-05×6.12833212590425e-06×6371000²
    4.79400000001906e-05×6.12833212590425e-06×40589641000000     		ar = 1551.75494956103m²