Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 904 / 137
↖ ↑ ↗
← N 78.560488°
E137.812500°		 ← 7 753.23 m → N 78.560488°
E138.164063°		 →
↑
7 776.57 m
↓
↑
7 776.57 m
↓
N 78.490552°
E137.812500°		 ← 7 800 m →
60 475 407 m²		 N 78.490552°
E138.164063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.88330078125 y=0.13427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.88330078125 × 210)
    floor (0.88330078125 × 1024)
    floor (904.5)     		tx = 904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13427734375 × 210)
    floor (0.13427734375 × 1024)
    floor (137.5)     		ty = 137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 904 / 137 ti = "10/904/137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/904/137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 904 ÷ 210
    904 ÷ 1024     		x = 0.8828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 137 ÷ 210
    137 ÷ 1024     		y = 0.1337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8828125 × 2 - 1) × π
    0.765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.40528188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1337890625 × 2 - 1) × π
    0.732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3009711817627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40528188} λ = 2.40528188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3009711817627))-π/2
    2×atan(9.98387390423035)-π/2
    2×1.47096775465594-π/2
    2.94193550931187-1.57079632675     		φ = 1.37113918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40528188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37113918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.560488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 904 KachelY 137 2.40528188 1.37113918 137.812500 78.560488
    Oben rechts KachelX + 1 905 KachelY 137 2.41141780 1.37113918 138.164063 78.560488
    Unten links KachelX 904 KachelY + 1 138 2.40528188 1.36991856 137.812500 78.490552
    Unten rechts KachelX + 1 905 KachelY + 1 138 2.41141780 1.36991856 138.164063 78.490552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37113918-1.36991856) × R
    0.00122062000000001 × 6371000     		dl = 7776.57002000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37113918-1.36991856) × R
    0.00122062000000001 × 6371000     		dr = 7776.57002000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40528188-2.41141780) × cos(1.37113918) × R
    0.00613592000000018 × 0.198333300157594 × 6371000     		do = 7753.23472322934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40528188-2.41141780) × cos(1.36991856) × R
    0.00613592000000018 × 0.199529524048583 × 6371000     		du = 7799.99744336257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37113918)-sin(1.36991856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198333300157594-0.199529524048583)×R²
    abs(2.41141780-2.40528188)×0.00119622389098878×R²
    0.00613592000000018×0.00119622389098878×6371000²
    0.00613592000000018×0.00119622389098878×40589641000000     		ar = 60475406.998977m²