Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 904 / 392
↖ ↑ ↗
← N 38.822591°
E137.812500°		 ← 30.456 km → N 38.822591°
E138.164063°		 →
↑
30.515 km
↓
↑
30.515 km
↓
N 38.548166°
E137.812500°		 ← 30.573 km →
931.149 km²		 N 38.548166°
E138.164063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.88330078125 y=0.38330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.88330078125 × 210)
    floor (0.88330078125 × 1024)
    floor (904.5)     		tx = 904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38330078125 × 210)
    floor (0.38330078125 × 1024)
    floor (392.5)     		ty = 392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 904 / 392 ti = "10/904/392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/904/392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 904 ÷ 210
    904 ÷ 1024     		x = 0.8828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 392 ÷ 210
    392 ÷ 1024     		y = 0.3828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8828125 × 2 - 1) × π
    0.765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.40528188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3828125 × 2 - 1) × π
    0.234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40528188} λ = 2.40528188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.736310778164063))-π/2
    2×atan(2.08821738911978)-π/2
    2×1.12418918173392-π/2
    2.24837836346783-1.57079632675     		φ = 0.67758204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40528188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67758204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.822591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 904 KachelY 392 2.40528188 0.67758204 137.812500 38.822591
    Oben rechts KachelX + 1 905 KachelY 392 2.41141780 0.67758204 138.164063 38.822591
    Unten links KachelX 904 KachelY + 1 393 2.40528188 0.67279241 137.812500 38.548166
    Unten rechts KachelX + 1 905 KachelY + 1 393 2.41141780 0.67279241 138.164063 38.548166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67758204-0.67279241) × R
    0.00478962999999999 × 6371000     		dl = 30514.7327299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67758204-0.67279241) × R
    0.00478962999999999 × 6371000     		dr = 30514.7327299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40528188-2.41141780) × cos(0.67758204) × R
    0.00613592000000018 × 0.779090840599552 × 6371000     		do = 30456.1773191223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40528188-2.41141780) × cos(0.67279241) × R
    0.00613592000000018 × 0.782084564710599 × 6371000     		du = 30573.2078213682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67758204)-sin(0.67279241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779090840599552-0.782084564710599)×R²
    abs(2.41141780-2.40528188)×0.00299372411104648×R²
    0.00613592000000018×0.00299372411104648×6371000²
    0.00613592000000018×0.00299372411104648×40589641000000     		ar = 931149468.210356m²