Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90496 / 24448
↖ ↑ ↗
← N 74.116047°
E 68.554687°		 ← 83.59 m → N 74.116047°
E 68.557434°		 →
↑
83.59 m
↓
↑
83.59 m
↓
N 74.115295°
E 68.554687°		 ← 83.60 m →
6 987 m²		 N 74.115295°
E 68.557434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690433502197266 y=0.186527252197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690433502197266 × 217)
    floor (0.690433502197266 × 131072)
    floor (90496.5)     		tx = 90496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.186527252197266 × 217)
    floor (0.186527252197266 × 131072)
    floor (24448.5)     		ty = 24448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90496 / 24448 ti = "17/90496/24448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90496/24448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90496 ÷ 217
    90496 ÷ 131072     		x = 0.6904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24448 ÷ 217
    24448 ÷ 131072     		y = 0.1865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6904296875 × 2 - 1) × π
    0.380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19650501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1865234375 × 2 - 1) × π
    0.626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96963133158887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19650501} λ = 1.19650501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96963133158887))-π/2
    2×atan(7.16803337368528)-π/2
    2×1.43218268634546-π/2
    2.86436537269092-1.57079632675     		φ = 1.29356905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19650501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29356905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.116047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90496 KachelY 24448 1.19650501 1.29356905 68.554687 74.116047
    Oben rechts KachelX + 1 90497 KachelY 24448 1.19655295 1.29356905 68.557434 74.116047
    Unten links KachelX 90496 KachelY + 1 24449 1.19650501 1.29355593 68.554687 74.115295
    Unten rechts KachelX + 1 90497 KachelY + 1 24449 1.19655295 1.29355593 68.557434 74.115295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29356905-1.29355593) × R
    1.31200000001996e-05 × 6371000     		dl = 83.5875200012719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29356905-1.29355593) × R
    1.31200000001996e-05 × 6371000     		dr = 83.5875200012719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19650501-1.19655295) × cos(1.29356905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.273689848953736 × 6371000     		do = 83.5919246471283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19650501-1.19655295) × cos(1.29355593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.27370246798235 × 6371000     		du = 83.5957788232808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29356905)-sin(1.29355593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.273689848953736-0.27370246798235)×R²
    abs(1.19655295-1.19650501)×1.26190286140471e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26190286140471e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26190286140471e-05×40589641000000     		ar = 6987.40275407985m²