Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 905 / 393
↖ ↑ ↗
← N 38.548166°
E138.164063°		 ← 30.573 km → N 38.548166°
E138.515625°		 →
↑
30.632 km
↓
↑
30.632 km
↓
N 38.272689°
E138.164063°		 ← 30.690 km →
938.298 km²		 N 38.272689°
E138.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.88427734375 y=0.38427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.88427734375 × 210)
    floor (0.88427734375 × 1024)
    floor (905.5)     		tx = 905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38427734375 × 210)
    floor (0.38427734375 × 1024)
    floor (393.5)     		ty = 393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 905 / 393 ti = "10/905/393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/905/393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 905 ÷ 210
    905 ÷ 1024     		x = 0.8837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 393 ÷ 210
    393 ÷ 1024     		y = 0.3837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8837890625 × 2 - 1) × π
    0.767578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.41141780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3837890625 × 2 - 1) × π
    0.232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.730174855012695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.41141780} λ = 2.41141780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.730174855012695))-π/2
    2×atan(2.07544347764401)-π/2
    2×1.12179436700708-π/2
    2.24358873401417-1.57079632675     		φ = 0.67279241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.41141780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 138.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67279241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.548166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 905 KachelY 393 2.41141780 0.67279241 138.164063 38.548166
    Oben rechts KachelX + 1 906 KachelY 393 2.41755372 0.67279241 138.515625 38.548166
    Unten links KachelX 905 KachelY + 1 394 2.41141780 0.66798443 138.164063 38.272689
    Unten rechts KachelX + 1 906 KachelY + 1 394 2.41755372 0.66798443 138.515625 38.272689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67279241-0.66798443) × R
    0.00480798000000004 × 6371000     		dl = 30631.6405800003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67279241-0.66798443) × R
    0.00480798000000004 × 6371000     		dr = 30631.6405800003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.41141780-2.41755372) × cos(0.67279241) × R
    0.00613591999999974 × 0.782084564710599 × 6371000     		do = 30573.207821366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.41141780-2.41755372) × cos(0.66798443) × R
    0.00613591999999974 × 0.785071713613263 × 6371000     		du = 30689.9812859188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67279241)-sin(0.66798443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782084564710599-0.785071713613263)×R²
    abs(2.41755372-2.41141780)×0.00298714890266405×R²
    0.00613591999999974×0.00298714890266405×6371000²
    0.00613591999999974×0.00298714890266405×40589641000000     		ar = 938297802.287014m²