Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 906 / 138
↖ ↑ ↗
← N 78.490552°
E138.515625°		 ← 7 800 m → N 78.490552°
E138.867187°		 →
↑
7 823.52 m
↓
↑
7 823.52 m
↓
N 78.420193°
E138.515625°		 ← 7 847.03 m →
61 207 460 m²		 N 78.420193°
E138.867187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.88525390625 y=0.13525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.88525390625 × 210)
    floor (0.88525390625 × 1024)
    floor (906.5)     		tx = 906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13525390625 × 210)
    floor (0.13525390625 × 1024)
    floor (138.5)     		ty = 138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 906 / 138 ti = "10/906/138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/906/138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 906 ÷ 210
    906 ÷ 1024     		x = 0.884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 138 ÷ 210
    138 ÷ 1024     		y = 0.134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.884765625 × 2 - 1) × π
    0.76953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.41755372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134765625 × 2 - 1) × π
    0.73046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29483525861133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.41755372} λ = 2.41755372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29483525861133))-π/2
    2×atan(9.92280118158074)-π/2
    2×1.47035744249174-π/2
    2.94071488498349-1.57079632675     		φ = 1.36991856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.41755372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 138.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36991856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.490552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 906 KachelY 138 2.41755372 1.36991856 138.515625 78.490552
    Oben rechts KachelX + 1 907 KachelY 138 2.42368964 1.36991856 138.867187 78.490552
    Unten links KachelX 906 KachelY + 1 139 2.41755372 1.36869057 138.515625 78.420193
    Unten rechts KachelX + 1 907 KachelY + 1 139 2.42368964 1.36869057 138.867187 78.420193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36991856-1.36869057) × R
    0.00122798999999985 × 6371000     		dl = 7823.52428999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36991856-1.36869057) × R
    0.00122798999999985 × 6371000     		dr = 7823.52428999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.41755372-2.42368964) × cos(1.36991856) × R
    0.00613592000000018 × 0.199529524048583 × 6371000     		do = 7799.99744336257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.41755372-2.42368964) × cos(1.36869057) × R
    0.00613592000000018 × 0.200732670654823 × 6371000     		du = 7847.03078590883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36991856)-sin(1.36869057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199529524048583-0.200732670654823)×R²
    abs(2.42368964-2.41755372)×0.00120314660624082×R²
    0.00613592000000018×0.00120314660624082×6371000²
    0.00613592000000018×0.00120314660624082×40589641000000     		ar = 61207460.4005582m²