Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90624 / 123392
↖ ↑ ↗
← S 82.853382°
E 68.906250°		 ← 37.99 m → S 82.853382°
E 68.908996°		 →
↑
37.97 m
↓
↑
37.97 m
↓
S 82.853724°
E 68.906250°		 ← 37.99 m →
1 442 m²		 S 82.853724°
E 68.908996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691410064697266 y=0.941410064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691410064697266 × 217)
    floor (0.691410064697266 × 131072)
    floor (90624.5)     		tx = 90624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.941410064697266 × 217)
    floor (0.941410064697266 × 131072)
    floor (123392.5)     		ty = 123392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90624 / 123392 ti = "17/90624/123392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90624/123392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90624 ÷ 217
    90624 ÷ 131072     		x = 0.69140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123392 ÷ 217
    123392 ÷ 131072     		y = 0.94140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69140625 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20264094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94140625 × 2 - 1) × π
    -0.8828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.77343726441797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20264094} λ = 1.20264094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.77343726441797))-π/2
    2×atan(0.062446988608245)-π/2
    2×0.0623660046999839-π/2
    0.124732009399968-1.57079632675     		φ = -1.44606432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20264094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44606432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.853382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90624 KachelY 123392 1.20264094 -1.44606432 68.906250 -82.853382
    Oben rechts KachelX + 1 90625 KachelY 123392 1.20268887 -1.44606432 68.908996 -82.853382
    Unten links KachelX 90624 KachelY + 1 123393 1.20264094 -1.44607028 68.906250 -82.853724
    Unten rechts KachelX + 1 90625 KachelY + 1 123393 1.20268887 -1.44607028 68.908996 -82.853724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44606432--1.44607028) × R
    5.95999999997154e-06 × 6371000     		dl = 37.9711599998187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44606432--1.44607028) × R
    5.95999999997154e-06 × 6371000     		dr = 37.9711599998187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20264094-1.20268887) × cos(-1.44606432) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.124408826678382 × 6371000     		do = 37.989731864452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20264094-1.20268887) × cos(-1.44607028) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.124402912979152 × 6371000     		du = 37.9879260452506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44606432)-sin(-1.44607028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.124408826678382-0.124402912979152)×R²
    abs(1.20268887-1.20264094)×5.91369922928187e-06×R²
    4.79300000000293e-05×5.91369922928187e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×5.91369922928187e-06×40589641000000     		ar = 1442.47990230131m²