Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90625 / 25089
↖ ↑ ↗
← N 73.627014°
E 68.908996°		 ← 86.10 m → N 73.627014°
E 68.911743°		 →
↑
86.07 m
↓
↑
86.07 m
↓
N 73.626240°
E 68.908996°		 ← 86.10 m →
7 411 m²		 N 73.626240°
E 68.911743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691417694091797 y=0.191417694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691417694091797 × 217)
    floor (0.691417694091797 × 131072)
    floor (90625.5)     		tx = 90625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191417694091797 × 217)
    floor (0.191417694091797 × 131072)
    floor (25089.5)     		ty = 25089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90625 / 25089 ti = "17/90625/25089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90625/25089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90625 ÷ 217
    90625 ÷ 131072     		x = 0.691413879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25089 ÷ 217
    25089 ÷ 131072     		y = 0.191413879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691413879394531 × 2 - 1) × π
    0.382827758789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.20268887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191413879394531 × 2 - 1) × π
    0.617172241210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.93890377893241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20268887} λ = 1.20268887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93890377893241))-π/2
    2×atan(6.95112682085946)-π/2
    2×1.4279150748038-π/2
    2.8558301496076-1.57079632675     		φ = 1.28503382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20268887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.908996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28503382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.627014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90625 KachelY 25089 1.20268887 1.28503382 68.908996 73.627014
    Oben rechts KachelX + 1 90626 KachelY 25089 1.20273681 1.28503382 68.911743 73.627014
    Unten links KachelX 90625 KachelY + 1 25090 1.20268887 1.28502031 68.908996 73.626240
    Unten rechts KachelX + 1 90626 KachelY + 1 25090 1.20273681 1.28502031 68.911743 73.626240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28503382-1.28502031) × R
    1.35100000000499e-05 × 6371000     		dl = 86.0722100003177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28503382-1.28502031) × R
    1.35100000000499e-05 × 6371000     		dr = 86.0722100003177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20268887-1.20273681) × cos(1.28503382) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.281889118020536 × 6371000     		do = 86.0961924693131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20268887-1.20273681) × cos(1.28502031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.281902080123635 × 6371000     		du = 86.1001514292441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28503382)-sin(1.28502031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281889118020536-0.281902080123635)×R²
    abs(1.20273681-1.20268887)×1.29621030989235e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29621030989235e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29621030989235e-05×40589641000000     		ar = 7410.65993671299m²