Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90626 / 25090
↖ ↑ ↗
← N 73.626240°
E 68.911743°		 ← 86.10 m → N 73.626240°
E 68.914490°		 →
↑
86.07 m
↓
↑
86.07 m
↓
N 73.625466°
E 68.911743°		 ← 86.10 m →
7 411 m²		 N 73.625466°
E 68.914490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691425323486328 y=0.191425323486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691425323486328 × 217)
    floor (0.691425323486328 × 131072)
    floor (90626.5)     		tx = 90626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191425323486328 × 217)
    floor (0.191425323486328 × 131072)
    floor (25090.5)     		ty = 25090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90626 / 25090 ti = "17/90626/25090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90626/25090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90626 ÷ 217
    90626 ÷ 131072     		x = 0.691421508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25090 ÷ 217
    25090 ÷ 131072     		y = 0.191421508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691421508789062 × 2 - 1) × π
    0.382843017578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20273681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191421508789062 × 2 - 1) × π
    0.617156982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93885584203279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20273681} λ = 1.20273681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93885584203279))-π/2
    2×atan(6.95079361337733)-π/2
    2×1.42790831820331-π/2
    2.85581663640662-1.57079632675     		φ = 1.28502031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20273681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.911743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28502031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.626240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90626 KachelY 25090 1.20273681 1.28502031 68.911743 73.626240
    Oben rechts KachelX + 1 90627 KachelY 25090 1.20278475 1.28502031 68.914490 73.626240
    Unten links KachelX 90626 KachelY + 1 25091 1.20273681 1.28500680 68.911743 73.625466
    Unten rechts KachelX + 1 90627 KachelY + 1 25091 1.20278475 1.28500680 68.914490 73.625466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28502031-1.28500680) × R
    1.35100000000499e-05 × 6371000     		dl = 86.0722100003177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28502031-1.28500680) × R
    1.35100000000499e-05 × 6371000     		dr = 86.0722100003177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20273681-1.20278475) × cos(1.28502031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.281902080123635 × 6371000     		do = 86.1001514292441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20273681-1.20278475) × cos(1.28500680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.281915042175281 × 6371000     		du = 86.10411037346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28502031)-sin(1.28500680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281902080123635-0.281915042175281)×R²
    abs(1.20278475-1.20273681)×1.29620516461371e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29620516461371e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29620516461371e-05×40589641000000     		ar = 7411.00069253109m²