Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90628 / 25092
↖ ↑ ↗
← N 73.624692°
E 68.917237°		 ← 86.09 m → N 73.624692°
E 68.919983°		 →
↑
86.07 m
↓
↑
86.07 m
↓
N 73.623918°
E 68.917237°		 ← 86.09 m →
7 410 m²		 N 73.623918°
E 68.919983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691440582275391 y=0.191440582275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691440582275391 × 217)
    floor (0.691440582275391 × 131072)
    floor (90628.5)     		tx = 90628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191440582275391 × 217)
    floor (0.191440582275391 × 131072)
    floor (25092.5)     		ty = 25092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90628 / 25092 ti = "17/90628/25092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90628/25092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90628 ÷ 217
    90628 ÷ 131072     		x = 0.691436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25092 ÷ 217
    25092 ÷ 131072     		y = 0.191436767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691436767578125 × 2 - 1) × π
    0.38287353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.20283269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191436767578125 × 2 - 1) × π
    0.61712646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93875996823355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20283269} λ = 1.20283269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93875996823355))-π/2
    2×atan(6.95012724632996)-π/2
    2×1.42789480407003-π/2
    2.85578960814007-1.57079632675     		φ = 1.28499328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20283269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.917237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28499328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.624692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90628 KachelY 25092 1.20283269 1.28499328 68.917237 73.624692
    Oben rechts KachelX + 1 90629 KachelY 25092 1.20288062 1.28499328 68.919983 73.624692
    Unten links KachelX 90628 KachelY + 1 25093 1.20283269 1.28497977 68.917237 73.623918
    Unten rechts KachelX + 1 90629 KachelY + 1 25093 1.20288062 1.28497977 68.919983 73.623918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28499328-1.28497977) × R
    1.35099999998278e-05 × 6371000     		dl = 86.0722099989031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28499328-1.28497977) × R
    1.35099999998278e-05 × 6371000     		dr = 86.0722099989031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20283269-1.20288062) × cos(1.28499328) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.281928013769828 × 6371000     		do = 86.0901105986752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20283269-1.20288062) × cos(1.28497977) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.281940975718523 × 6371000     		du = 86.0940686856415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28499328)-sin(1.28497977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281928013769828-0.281940975718523)×R²
    abs(1.20288062-1.20283269)×1.2961948695156e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.2961948695156e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.2961948695156e-05×40589641000000     		ar = 7410.13641913232m²