Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 91135 / 25601
↖ ↑ ↗
← N 73.225907°
E 70.309753°		 ← 88.15 m → N 73.225907°
E 70.312500°		 →
↑
88.17 m
↓
↑
88.17 m
↓
N 73.225114°
E 70.309753°		 ← 88.15 m →
7 772 m²		 N 73.225114°
E 70.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 91135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.695308685302734 y=0.195323944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.695308685302734 × 217)
    floor (0.695308685302734 × 131072)
    floor (91135.5)     		tx = 91135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195323944091797 × 217)
    floor (0.195323944091797 × 131072)
    floor (25601.5)     		ty = 25601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 91135 / 25601 ti = "17/91135/25601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/91135/25601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 91135 ÷ 217
    91135 ÷ 131072     		x = 0.695304870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25601 ÷ 217
    25601 ÷ 131072     		y = 0.195320129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.695304870605469 × 2 - 1) × π
    0.390609741210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.22713669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195320129394531 × 2 - 1) × π
    0.609359741210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.91436008632694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22713669} λ = 1.22713669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91436008632694))-π/2
    2×atan(6.78259713135867)-π/2
    2×1.4244147512865-π/2
    2.848829502573-1.57079632675     		φ = 1.27803318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22713669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.309753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27803318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.225907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 91135 KachelY 25601 1.22713669 1.27803318 70.309753 73.225907
    Oben rechts KachelX + 1 91136 KachelY 25601 1.22718463 1.27803318 70.312500 73.225907
    Unten links KachelX 91135 KachelY + 1 25602 1.22713669 1.27801934 70.309753 73.225114
    Unten rechts KachelX + 1 91136 KachelY + 1 25602 1.22718463 1.27801934 70.312500 73.225114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27803318-1.27801934) × R
    1.38400000000427e-05 × 6371000     		dl = 88.1746400002721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27803318-1.27801934) × R
    1.38400000000427e-05 × 6371000     		dr = 88.1746400002721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22713669-1.22718463) × cos(1.27803318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.288598898609817 × 6371000     		do = 88.1455321710306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22713669-1.22718463) × cos(1.27801934) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.288612149691429 × 6371000     		du = 88.1495793924376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27803318)-sin(1.27801934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288598898609817-0.288612149691429)×R²
    abs(1.22718463-1.22713669)×1.32510816116538e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32510816116538e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32510816116538e-05×40589641000000     		ar = 7772.37899800264m²