Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 91136 / 25599
↖ ↑ ↗
← N 73.227492°
E 70.312500°		 ← 88.14 m → N 73.227492°
E 70.315247°		 →
↑
88.11 m
↓
↑
88.11 m
↓
N 73.226700°
E 70.312500°		 ← 88.14 m →
7 766 m²		 N 73.226700°
E 70.315247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 91136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.695316314697266 y=0.195308685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.695316314697266 × 217)
    floor (0.695316314697266 × 131072)
    floor (91136.5)     		tx = 91136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195308685302734 × 217)
    floor (0.195308685302734 × 131072)
    floor (25599.5)     		ty = 25599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 91136 / 25599 ti = "17/91136/25599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/91136/25599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 91136 ÷ 217
    91136 ÷ 131072     		x = 0.6953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25599 ÷ 217
    25599 ÷ 131072     		y = 0.195304870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6953125 × 2 - 1) × π
    0.390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.22718463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195304870605469 × 2 - 1) × π
    0.609390258789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.91445596012618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22718463} λ = 1.22718463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91445596012618))-π/2
    2×atan(6.78324743588745)-π/2
    2×1.42442858518818-π/2
    2.84885717037635-1.57079632675     		φ = 1.27806084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22718463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27806084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.227492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 91136 KachelY 25599 1.22718463 1.27806084 70.312500 73.227492
    Oben rechts KachelX + 1 91137 KachelY 25599 1.22723257 1.27806084 70.315247 73.227492
    Unten links KachelX 91136 KachelY + 1 25600 1.22718463 1.27804701 70.312500 73.226700
    Unten rechts KachelX + 1 91137 KachelY + 1 25600 1.22723257 1.27804701 70.315247 73.226700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27806084-1.27804701) × R
    1.38299999998814e-05 × 6371000     		dl = 88.1109299992446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27806084-1.27804701) × R
    1.38299999998814e-05 × 6371000     		dr = 88.1109299992446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22718463-1.22723257) × cos(1.27806084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.288572415429918 × 6371000     		do = 88.1374435262124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22718463-1.22723257) × cos(1.27804701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.288585657047466 × 6371000     		du = 88.1414878570508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27806084)-sin(1.27804701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288572415429918-0.288585657047466)×R²
    abs(1.22723257-1.22718463)×1.32416175479544e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32416175479544e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32416175479544e-05×40589641000000     		ar = 7766.05029192713m²