Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 91138 / 25602
↖ ↑ ↗
← N 73.225114°
E 70.317993°		 ← 88.15 m → N 73.225114°
E 70.320740°		 →
↑
88.11 m
↓
↑
88.11 m
↓
N 73.224322°
E 70.317993°		 ← 88.15 m →
7 767 m²		 N 73.224322°
E 70.320740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 91138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.695331573486328 y=0.195331573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.695331573486328 × 217)
    floor (0.695331573486328 × 131072)
    floor (91138.5)     		tx = 91138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195331573486328 × 217)
    floor (0.195331573486328 × 131072)
    floor (25602.5)     		ty = 25602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 91138 / 25602 ti = "17/91138/25602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/91138/25602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 91138 ÷ 217
    91138 ÷ 131072     		x = 0.695327758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25602 ÷ 217
    25602 ÷ 131072     		y = 0.195327758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.695327758789062 × 2 - 1) × π
    0.390655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.22728050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195327758789062 × 2 - 1) × π
    0.609344482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91431214942732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22728050} λ = 1.22728050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91431214942732))-π/2
    2×atan(6.78227200247372)-π/2
    2×1.42440783385944-π/2
    2.84881566771888-1.57079632675     		φ = 1.27801934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22728050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.317993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27801934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.225114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 91138 KachelY 25602 1.22728050 1.27801934 70.317993 73.225114
    Oben rechts KachelX + 1 91139 KachelY 25602 1.22732844 1.27801934 70.320740 73.225114
    Unten links KachelX 91138 KachelY + 1 25603 1.22728050 1.27800551 70.317993 73.224322
    Unten rechts KachelX + 1 91139 KachelY + 1 25603 1.22732844 1.27800551 70.320740 73.224322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27801934-1.27800551) × R
    1.38299999998814e-05 × 6371000     		dl = 88.1109299992446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27801934-1.27800551) × R
    1.38299999998814e-05 × 6371000     		dr = 88.1109299992446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22728050-1.22732844) × cos(1.27801934) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.288612149691429 × 6371000     		do = 88.1495793924376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22728050-1.22732844) × cos(1.27800551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.288625391143337 × 6371000     		du = 88.1536236726853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27801934)-sin(1.27800551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288612149691429-0.288625391143337)×R²
    abs(1.22732844-1.22728050)×1.32414519080637e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32414519080637e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32414519080637e-05×40589641000000     		ar = 7767.11959207512m²