Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 91144 / 25608
↖ ↑ ↗
← N 73.220358°
E 70.334473°		 ← 88.16 m → N 73.220358°
E 70.337219°		 →
↑
88.17 m
↓
↑
88.17 m
↓
N 73.219565°
E 70.334473°		 ← 88.16 m →
7 773 m²		 N 73.219565°
E 70.337219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 91144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.695377349853516 y=0.195377349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.695377349853516 × 217)
    floor (0.695377349853516 × 131072)
    floor (91144.5)     		tx = 91144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195377349853516 × 217)
    floor (0.195377349853516 × 131072)
    floor (25608.5)     		ty = 25608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 91144 / 25608 ti = "17/91144/25608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/91144/25608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 91144 ÷ 217
    91144 ÷ 131072     		x = 0.69537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25608 ÷ 217
    25608 ÷ 131072     		y = 0.19537353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69537353515625 × 2 - 1) × π
    0.3907470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.22756813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19537353515625 × 2 - 1) × π
    0.6092529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.9140245280296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22756813} λ = 1.22756813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9140245280296))-π/2
    2×atan(6.7803215564291)-π/2
    2×1.42436632262921-π/2
    2.84873264525842-1.57079632675     		φ = 1.27793632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22756813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.334473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27793632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.220358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 91144 KachelY 25608 1.22756813 1.27793632 70.334473 73.220358
    Oben rechts KachelX + 1 91145 KachelY 25608 1.22761606 1.27793632 70.337219 73.220358
    Unten links KachelX 91144 KachelY + 1 25609 1.22756813 1.27792248 70.334473 73.219565
    Unten rechts KachelX + 1 91145 KachelY + 1 25609 1.22761606 1.27792248 70.337219 73.219565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27793632-1.27792248) × R
    1.38400000000427e-05 × 6371000     		dl = 88.1746400002721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27793632-1.27792248) × R
    1.38400000000427e-05 × 6371000     		dr = 88.1746400002721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22756813-1.22761606) × cos(1.27793632) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.288691635871637 × 6371000     		do = 88.1554639734294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22756813-1.22761606) × cos(1.27792248) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.288704886566298 × 6371000     		du = 88.1595102324501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27793632)-sin(1.27792248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288691635871637-0.288704886566298)×R²
    abs(1.22761606-1.22756813)×1.32506946615707e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.32506946615707e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.32506946615707e-05×40589641000000     		ar = 7773.25468881724m²