Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 91152 / 25616
↖ ↑ ↗
← N 73.214013°
E 70.356445°		 ← 88.21 m → N 73.214013°
E 70.359192°		 →
↑
88.24 m
↓
↑
88.24 m
↓
N 73.213220°
E 70.356445°		 ← 88.21 m →
7 783 m²		 N 73.213220°
E 70.359192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 91152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.695438385009766 y=0.195438385009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.695438385009766 × 217)
    floor (0.695438385009766 × 131072)
    floor (91152.5)     		tx = 91152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195438385009766 × 217)
    floor (0.195438385009766 × 131072)
    floor (25616.5)     		ty = 25616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 91152 / 25616 ti = "17/91152/25616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/91152/25616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 91152 ÷ 217
    91152 ÷ 131072     		x = 0.6954345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25616 ÷ 217
    25616 ÷ 131072     		y = 0.1954345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6954345703125 × 2 - 1) × π
    0.390869140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.22795162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1954345703125 × 2 - 1) × π
    0.609130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91364103283264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22795162} λ = 1.22795162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91364103283264))-π/2
    2×atan(6.77772183420072)-π/2
    2×1.42431095653749-π/2
    2.84862191307498-1.57079632675     		φ = 1.27782559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22795162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.356445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27782559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.214013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 91152 KachelY 25616 1.22795162 1.27782559 70.356445 73.214013
    Oben rechts KachelX + 1 91153 KachelY 25616 1.22799956 1.27782559 70.359192 73.214013
    Unten links KachelX 91152 KachelY + 1 25617 1.22795162 1.27781174 70.356445 73.213220
    Unten rechts KachelX + 1 91153 KachelY + 1 25617 1.22799956 1.27781174 70.359192 73.213220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27782559-1.27781174) × R
    1.38499999999819e-05 × 6371000     		dl = 88.2383499998849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27782559-1.27781174) × R
    1.38499999999819e-05 × 6371000     		dr = 88.2383499998849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22795162-1.22799956) × cos(1.27782559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.288797649454284 × 6371000     		do = 88.2062357947775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22795162-1.22799956) × cos(1.27781174) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.288810909280295 × 6371000     		du = 88.2102856869491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27782559)-sin(1.27781174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288797649454284-0.288810909280295)×R²
    abs(1.22799956-1.22795162)×1.32598260108585e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32598260108585e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32598260108585e-05×40589641000000     		ar = 7783.35138438543m²