Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 912 / 1936
↖ ↑ ↗
← S 83.026219°
W 19.687500°		 ← 2 373.18 m → S 83.026219°
W 19.511718°		 →
↑
2 369.57 m
↓
↑
2 369.57 m
↓
S 83.047529°
W 19.687500°		 ← 2 365.97 m →
5 614 869 m²		 S 83.047529°
W 19.511718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445556640625 y=0.945556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445556640625 × 211)
    floor (0.445556640625 × 2048)
    floor (912.5)     		tx = 912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.945556640625 × 211)
    floor (0.945556640625 × 2048)
    floor (1936.5)     		ty = 1936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 912 / 1936 ti = "11/912/1936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/912/1936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 912 ÷ 211
    912 ÷ 2048     		x = 0.4453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1936 ÷ 211
    1936 ÷ 2048     		y = 0.9453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4453125 × 2 - 1) × π
    -0.109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9453125 × 2 - 1) × π
    -0.890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.79798095702344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34361170} λ = -0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.79798095702344))-π/2
    2×atan(0.0609329647856864)-π/2
    2×0.0608577211652698-π/2
    0.12171544233054-1.57079632675     		φ = -1.44908088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44908088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.026219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 912 KachelY 1936 -0.34361170 -1.44908088 -19.687500 -83.026219
    Oben rechts KachelX + 1 913 KachelY 1936 -0.34054373 -1.44908088 -19.511718 -83.026219
    Unten links KachelX 912 KachelY + 1 1937 -0.34361170 -1.44945281 -19.687500 -83.047529
    Unten rechts KachelX + 1 913 KachelY + 1 1937 -0.34054373 -1.44945281 -19.511718 -83.047529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44908088--1.44945281) × R
    0.00037193000000002 × 6371000     		dl = 2369.56603000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44908088--1.44945281) × R
    0.00037193000000002 × 6371000     		dr = 2369.56603000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34361170--0.34054373) × cos(-1.44908088) × R
    0.00306797000000003 × 0.121415140703967 × 6371000     		do = 2373.184816776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34361170--0.34054373) × cos(-1.44945281) × R
    0.00306797000000003 × 0.121045953921543 × 6371000     		du = 2365.96867831482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44908088)-sin(-1.44945281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.121415140703967-0.121045953921543)×R²
    abs(-0.34054373--0.34361170)×0.000369186782423828×R²
    0.00306797000000003×0.000369186782423828×6371000²
    0.00306797000000003×0.000369186782423828×40589641000000     		ar = 5614868.63119415m²