Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9152 / 9408
↖ ↑ ↗
← S 25.799891°
E 21.093750°		 ← 2 199.67 m → S 25.799891°
E 21.115722°		 →
↑
2 199.52 m
↓
↑
2 199.52 m
↓
S 25.819672°
E 21.093750°		 ← 2 199.31 m →
4 837 832 m²		 S 25.819672°
E 21.115722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558624267578125 y=0.574249267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558624267578125 × 214)
    floor (0.558624267578125 × 16384)
    floor (9152.5)     		tx = 9152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574249267578125 × 214)
    floor (0.574249267578125 × 16384)
    floor (9408.5)     		ty = 9408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9152 / 9408 ti = "14/9152/9408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9152/9408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9152 ÷ 214
    9152 ÷ 16384     		x = 0.55859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9408 ÷ 214
    9408 ÷ 16384     		y = 0.57421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55859375 × 2 - 1) × π
    0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57421875 × 2 - 1) × π
    -0.1484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.466330159503906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36815539} λ = 0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.466330159503906))-π/2
    2×atan(0.627300140750788)-π/2
    2×0.560251639511602-π/2
    1.1205032790232-1.57079632675     		φ = -0.45029305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45029305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.799891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9152 KachelY 9408 0.36815539 -0.45029305 21.093750 -25.799891
    Oben rechts KachelX + 1 9153 KachelY 9408 0.36853888 -0.45029305 21.115722 -25.799891
    Unten links KachelX 9152 KachelY + 1 9409 0.36815539 -0.45063829 21.093750 -25.819672
    Unten rechts KachelX + 1 9153 KachelY + 1 9409 0.36853888 -0.45063829 21.115722 -25.819672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45029305--0.45063829) × R
    0.000345240000000024 × 6371000     		dl = 2199.52404000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45029305--0.45063829) × R
    0.000345240000000024 × 6371000     		dr = 2199.52404000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36815539-0.36853888) × cos(-0.45029305) × R
    0.000383489999999986 × 0.900319597040296 × 6371000     		do = 2199.67415521561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36815539-0.36853888) × cos(-0.45063829) × R
    0.000383489999999986 × 0.900169284793334 × 6371000     		du = 2199.30691011072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45029305)-sin(-0.45063829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900319597040296-0.900169284793334)×R²
    abs(0.36853888-0.36815539)×0.000150312246962492×R²
    0.000383489999999986×0.000150312246962492×6371000²
    0.000383489999999986×0.000150312246962492×40589641000000     		ar = 4837832.35039701m²