Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9215 / 11265
↖ ↑ ↗
← S 55.788929°
E 22.478028°		 ← 1 373.68 m → S 55.788929°
E 22.500000°		 →
↑
1 373.46 m
↓
↑
1 373.46 m
↓
S 55.801281°
E 22.478028°		 ← 1 373.25 m →
1 886 397 m²		 S 55.801281°
E 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562469482421875 y=0.687591552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562469482421875 × 214)
    floor (0.562469482421875 × 16384)
    floor (9215.5)     		tx = 9215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687591552734375 × 214)
    floor (0.687591552734375 × 16384)
    floor (11265.5)     		ty = 11265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9215 / 11265 ti = "14/9215/11265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9215/11265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9215 ÷ 214
    9215 ÷ 16384     		x = 0.56243896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11265 ÷ 214
    11265 ÷ 16384     		y = 0.68756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56243896484375 × 2 - 1) × π
    0.1248779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39231559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.3751220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17848074025946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39231559} λ = 0.39231559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17848074025946))-π/2
    2×atan(0.307745929620203)-π/2
    2×0.298547915203606-π/2
    0.597095830407213-1.57079632675     		φ = -0.97370050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39231559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.478028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97370050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.788929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9215 KachelY 11265 0.39231559 -0.97370050 22.478028 -55.788929
    Oben rechts KachelX + 1 9216 KachelY 11265 0.39269908 -0.97370050 22.500000 -55.788929
    Unten links KachelX 9215 KachelY + 1 11266 0.39231559 -0.97391608 22.478028 -55.801281
    Unten rechts KachelX + 1 9216 KachelY + 1 11266 0.39269908 -0.97391608 22.500000 -55.801281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97370050--0.97391608) × R
    0.000215579999999993 × 6371000     		dl = 1373.46017999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97370050--0.97391608) × R
    0.000215579999999993 × 6371000     		dr = 1373.46017999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39231559-0.39269908) × cos(-0.97370050) × R
    0.000383489999999986 × 0.562243178028038 × 6371000     		do = 1373.68084813466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39231559-0.39269908) × cos(-0.97391608) × R
    0.000383489999999986 × 0.562064886351038 × 6371000     		du = 1373.24524327248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97370050)-sin(-0.97391608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562243178028038-0.562064886351038)×R²
    abs(0.39269908-0.39231559)×0.000178291677000342×R²
    0.000383489999999986×0.000178291677000342×6371000²
    0.000383489999999986×0.000178291677000342×40589641000000     		ar = 1886396.80928103m²