Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9216 / 25600
↖ ↑ ↗
← N 36.597889°
W129.375000°		 ← 490.36 m → N 36.597889°
W129.369507°		 →
↑
490.38 m
↓
↑
490.38 m
↓
N 36.593479°
W129.375000°		 ← 490.39 m →
240 470 m²		 N 36.593479°
W129.369507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140632629394531 y=0.390632629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140632629394531 × 216)
    floor (0.140632629394531 × 65536)
    floor (9216.5)     		tx = 9216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.390632629394531 × 216)
    floor (0.390632629394531 × 65536)
    floor (25600.5)     		ty = 25600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9216 / 25600 ti = "16/9216/25600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9216/25600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9216 ÷ 216
    9216 ÷ 65536     		x = 0.140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25600 ÷ 216
    25600 ÷ 65536     		y = 0.390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140625 × 2 - 1) × π
    -0.71875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25801972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.390625 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Φ = 0.687223392953125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25801972} λ = -2.25801972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.687223392953125))-π/2
    2×atan(1.98818744685741)-π/2
    2×1.10477499571553-π/2
    2.20954999143106-1.57079632675     		φ = 0.63875366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25801972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63875366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.597889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9216 KachelY 25600 -2.25801972 0.63875366 -129.375000 36.597889
    Oben rechts KachelX + 1 9217 KachelY 25600 -2.25792385 0.63875366 -129.369507 36.597889
    Unten links KachelX 9216 KachelY + 1 25601 -2.25801972 0.63867669 -129.375000 36.593479
    Unten rechts KachelX + 1 9217 KachelY + 1 25601 -2.25792385 0.63867669 -129.369507 36.593479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63875366-0.63867669) × R
    7.6969999999954e-05 × 6371000     		dl = 490.375869999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63875366-0.63867669) × R
    7.6969999999954e-05 × 6371000     		dr = 490.375869999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25801972--2.25792385) × cos(0.63875366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.802839443284969 × 6371000     		do = 490.364513232057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25801972--2.25792385) × cos(0.63867669) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.802885330058521 × 6371000     		du = 490.392540312147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63875366)-sin(0.63867669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802839443284969-0.802885330058521)×R²
    abs(-2.25792385--2.25801972)×4.58867735523283e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58867735523283e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58867735523283e-05×40589641000000     		ar = 240469.79681367m²