Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9217 / 25599
↖ ↑ ↗
← N 36.602299°
W129.369507°		 ← 490.39 m → N 36.602299°
W129.364014°		 →
↑
490.38 m
↓
↑
490.38 m
↓
N 36.597889°
W129.369507°		 ← 490.42 m →
240 481 m²		 N 36.597889°
W129.364014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140647888183594 y=0.390617370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140647888183594 × 216)
    floor (0.140647888183594 × 65536)
    floor (9217.5)     		tx = 9217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.390617370605469 × 216)
    floor (0.390617370605469 × 65536)
    floor (25599.5)     		ty = 25599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9217 / 25599 ti = "16/9217/25599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9217/25599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9217 ÷ 216
    9217 ÷ 65536     		x = 0.140640258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25599 ÷ 216
    25599 ÷ 65536     		y = 0.390609741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140640258789062 × 2 - 1) × π
    -0.718719482421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25792385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.390609741210938 × 2 - 1) × π
    0.218780517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.687319266752365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25792385} λ = -2.25792385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.687319266752365))-π/2
    2×atan(1.98837807107933)-π/2
    2×1.10481348024927-π/2
    2.20962696049854-1.57079632675     		φ = 0.63883063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25792385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.369507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63883063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.602299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9217 KachelY 25599 -2.25792385 0.63883063 -129.369507 36.602299
    Oben rechts KachelX + 1 9218 KachelY 25599 -2.25782797 0.63883063 -129.364014 36.602299
    Unten links KachelX 9217 KachelY + 1 25600 -2.25792385 0.63875366 -129.369507 36.597889
    Unten rechts KachelX + 1 9218 KachelY + 1 25600 -2.25782797 0.63875366 -129.364014 36.597889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63883063-0.63875366) × R
    7.6969999999954e-05 × 6371000     		dl = 490.375869999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63883063-0.63875366) × R
    7.6969999999954e-05 × 6371000     		dr = 490.375869999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25792385--2.25782797) × cos(0.63883063) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.80279355175509 × 6371000     		do = 490.387629223732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25792385--2.25782797) × cos(0.63875366) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.802839443284969 × 6371000     		du = 490.415662132678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63883063)-sin(0.63875366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.80279355175509-0.802839443284969)×R²
    abs(-2.25782797--2.25792385)×4.58915298789941e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.58915298789941e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.58915298789941e-05×40589641000000     		ar = 240481.133767579m²