Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9218 / 9218
↖ ↑ ↗
← S 21.983802°
E 22.543945°		 ← 2 265.63 m → S 21.983802°
E 22.565918°		 →
↑
2 265.40 m
↓
↑
2 265.40 m
↓
S 22.004175°
E 22.543945°		 ← 2 265.30 m →
5 132 183 m²		 S 22.004175°
E 22.565918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562652587890625 y=0.562652587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562652587890625 × 214)
    floor (0.562652587890625 × 16384)
    floor (9218.5)     		tx = 9218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562652587890625 × 214)
    floor (0.562652587890625 × 16384)
    floor (9218.5)     		ty = 9218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9218 / 9218 ti = "14/9218/9218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9218/9218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9218 ÷ 214
    9218 ÷ 16384     		x = 0.5626220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9218 ÷ 214
    9218 ÷ 16384     		y = 0.5626220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5626220703125 × 2 - 1) × π
    0.125244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39346607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5626220703125 × 2 - 1) × π
    -0.125244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.393466072081421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39346607} λ = 0.39346607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.393466072081421))-π/2
    2×atan(0.674714208837285)-π/2
    2×0.593553304983683-π/2
    1.18710660996737-1.57079632675     		φ = -0.38368972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39346607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.543945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38368972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.983802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9218 KachelY 9218 0.39346607 -0.38368972 22.543945 -21.983802
    Oben rechts KachelX + 1 9219 KachelY 9218 0.39384957 -0.38368972 22.565918 -21.983802
    Unten links KachelX 9218 KachelY + 1 9219 0.39346607 -0.38404530 22.543945 -22.004175
    Unten rechts KachelX + 1 9219 KachelY + 1 9219 0.39384957 -0.38404530 22.565918 -22.004175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38368972--0.38404530) × R
    0.000355579999999966 × 6371000     		dl = 2265.40017999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38368972--0.38404530) × R
    0.000355579999999966 × 6371000     		dr = 2265.40017999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39346607-0.39384957) × cos(-0.38368972) × R
    0.000383499999999981 × 0.927289724578809 × 6371000     		do = 2265.62704733421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39346607-0.39384957) × cos(-0.38404530) × R
    0.000383499999999981 × 0.927156556560419 × 6371000     		du = 2265.30168077799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38368972)-sin(-0.38404530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927289724578809-0.927156556560419)×R²
    abs(0.39384957-0.39346607)×0.000133168018390362×R²
    0.000383499999999981×0.000133168018390362×6371000²
    0.000383499999999981×0.000133168018390362×40589641000000     		ar = 5132183.43219052m²