Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9220 / 3076
↖ ↑ ↗
← N 73.995328°
E 22.587890°		 ← 673.65 m → N 73.995328°
E 22.609863°		 →
↑
673.73 m
↓
↑
673.73 m
↓
N 73.989269°
E 22.587890°		 ← 673.90 m →
453 944 m²		 N 73.989269°
E 22.609863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562774658203125 y=0.187774658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562774658203125 × 214)
    floor (0.562774658203125 × 16384)
    floor (9220.5)     		tx = 9220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187774658203125 × 214)
    floor (0.187774658203125 × 16384)
    floor (3076.5)     		ty = 3076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9220 / 3076 ti = "14/9220/3076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9220/3076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9220 ÷ 214
    9220 ÷ 16384     		x = 0.562744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3076 ÷ 214
    3076 ÷ 16384     		y = 0.187744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562744140625 × 2 - 1) × π
    0.12548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39423306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187744140625 × 2 - 1) × π
    0.62451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.96196142764966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39423306} λ = 0.39423306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96196142764966))-π/2
    2×atan(7.11326554674912)-π/2
    2×1.43112921871512-π/2
    2.86225843743023-1.57079632675     		φ = 1.29146211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39423306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.587890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29146211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.995328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9220 KachelY 3076 0.39423306 1.29146211 22.587890 73.995328
    Oben rechts KachelX + 1 9221 KachelY 3076 0.39461656 1.29146211 22.609863 73.995328
    Unten links KachelX 9220 KachelY + 1 3077 0.39423306 1.29135636 22.587890 73.989269
    Unten rechts KachelX + 1 9221 KachelY + 1 3077 0.39461656 1.29135636 22.609863 73.989269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29146211-1.29135636) × R
    0.000105750000000127 × 6371000     		dl = 673.733250000806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29146211-1.29135636) × R
    0.000105750000000127 × 6371000     		dr = 673.733250000806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39423306-0.39461656) × cos(1.29146211) × R
    0.000383499999999981 × 0.275715732791679 × 6371000     		do = 673.65032204162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39423306-0.39461656) × cos(1.29135636) × R
    0.000383499999999981 × 0.275817382297145 × 6371000     		du = 673.898680092863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29146211)-sin(1.29135636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275715732791679-0.275817382297145)×R²
    abs(0.39461656-0.39423306)×0.000101649505466872×R²
    0.000383499999999981×0.000101649505466872×6371000²
    0.000383499999999981×0.000101649505466872×40589641000000     		ar = 453944.284793994m²