Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9220 / 9221
↖ ↑ ↗
← S 22.044913°
E 22.587890°		 ← 2 264.65 m → S 22.044913°
E 22.609863°		 →
↑
2 264.44 m
↓
↑
2 264.44 m
↓
S 22.065278°
E 22.587890°		 ← 2 264.32 m →
5 127 806 m²		 S 22.065278°
E 22.609863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562774658203125 y=0.562835693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562774658203125 × 214)
    floor (0.562774658203125 × 16384)
    floor (9220.5)     		tx = 9220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562835693359375 × 214)
    floor (0.562835693359375 × 16384)
    floor (9221.5)     		ty = 9221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9220 / 9221 ti = "14/9220/9221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9220/9221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9220 ÷ 214
    9220 ÷ 16384     		x = 0.562744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9221 ÷ 214
    9221 ÷ 16384     		y = 0.56280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562744140625 × 2 - 1) × π
    0.12548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39423306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.1256103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.394616557672302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39423306} λ = 0.39423306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.394616557672302))-π/2
    2×atan(0.673938406222492)-π/2
    2×0.593020003199687-π/2
    1.18604000639937-1.57079632675     		φ = -0.38475632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39423306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.587890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38475632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.044913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9220 KachelY 9221 0.39423306 -0.38475632 22.587890 -22.044913
    Oben rechts KachelX + 1 9221 KachelY 9221 0.39461656 -0.38475632 22.609863 -22.044913
    Unten links KachelX 9220 KachelY + 1 9222 0.39423306 -0.38511175 22.587890 -22.065278
    Unten rechts KachelX + 1 9221 KachelY + 1 9222 0.39461656 -0.38511175 22.609863 -22.065278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38475632--0.38511175) × R
    0.00035542999999999 × 6371000     		dl = 2264.44452999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38475632--0.38511175) × R
    0.00035542999999999 × 6371000     		dr = 2264.44452999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39423306-0.39461656) × cos(-0.38475632) × R
    0.000383499999999981 × 0.926889921406103 × 6371000     		do = 2264.65021683811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39423306-0.39461656) × cos(-0.38511175) × R
    0.000383499999999981 × 0.926756458152782 × 6371000     		du = 2264.32412894073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38475632)-sin(-0.38511175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926889921406103-0.926756458152782)×R²
    abs(0.39461656-0.39423306)×0.000133463253320865×R²
    0.000383499999999981×0.000133463253320865×6371000²
    0.000383499999999981×0.000133463253320865×40589641000000     		ar = 5127805.64588775m²