Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9224 / 5128
↖ ↑ ↗
← N 55.677585°
E 22.675781°		 ← 1 377.64 m → N 55.677585°
E 22.697754°		 →
↑
1 377.86 m
↓
↑
1 377.86 m
↓
N 55.665193°
E 22.675781°		 ← 1 378.08 m →
1 898 491 m²		 N 55.665193°
E 22.697754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563018798828125 y=0.313018798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563018798828125 × 214)
    floor (0.563018798828125 × 16384)
    floor (9224.5)     		tx = 9224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313018798828125 × 214)
    floor (0.313018798828125 × 16384)
    floor (5128.5)     		ty = 5128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9224 / 5128 ti = "14/9224/5128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9224/5128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9224 ÷ 214
    9224 ÷ 16384     		x = 0.56298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5128 ÷ 214
    5128 ÷ 16384     		y = 0.31298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56298828125 × 2 - 1) × π
    0.1259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39576704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31298828125 × 2 - 1) × π
    0.3740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17502928348682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39576704} λ = 0.39576704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17502928348682))-π/2
    2×atan(3.23823776934257)-π/2
    2×1.27127674715327-π/2
    2.54255349430654-1.57079632675     		φ = 0.97175717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39576704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97175717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.677585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9224 KachelY 5128 0.39576704 0.97175717 22.675781 55.677585
    Oben rechts KachelX + 1 9225 KachelY 5128 0.39615054 0.97175717 22.697754 55.677585
    Unten links KachelX 9224 KachelY + 1 5129 0.39576704 0.97154090 22.675781 55.665193
    Unten rechts KachelX + 1 9225 KachelY + 1 5129 0.39615054 0.97154090 22.697754 55.665193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97175717-0.97154090) × R
    0.000216269999999907 × 6371000     		dl = 1377.85616999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97175717-0.97154090) × R
    0.000216269999999907 × 6371000     		dr = 1377.85616999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39576704-0.39615054) × cos(0.97175717) × R
    0.000383499999999981 × 0.563849194755044 × 6371000     		do = 1377.64061478724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39576704-0.39615054) × cos(0.97154090) × R
    0.000383499999999981 × 0.564027794151883 × 6371000     		du = 1378.07698285365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97175717)-sin(0.97154090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563849194755044-0.564027794151883)×R²
    abs(0.39615054-0.39576704)×0.000178599396839396×R²
    0.000383499999999981×0.000178599396839396×6371000²
    0.000383499999999981×0.000178599396839396×40589641000000     		ar = 1898491.25474182m²