Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9232 / 1040
↖ ↑ ↗
← N 82.631333°
E 22.851562°		 ← 313.36 m → N 82.631333°
E 22.873535°		 →
↑
313.39 m
↓
↑
313.39 m
↓
N 82.628514°
E 22.851562°		 ← 313.48 m →
98 222 m²		 N 82.628514°
E 22.873535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563507080078125 y=0.063507080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563507080078125 × 214)
    floor (0.563507080078125 × 16384)
    floor (9232.5)     		tx = 9232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.063507080078125 × 214)
    floor (0.063507080078125 × 16384)
    floor (1040.5)     		ty = 1040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9232 / 1040 ti = "14/9232/1040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9232/1040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9232 ÷ 214
    9232 ÷ 16384     		x = 0.5634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1040 ÷ 214
    1040 ÷ 16384     		y = 0.0634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5634765625 × 2 - 1) × π
    0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0634765625 × 2 - 1) × π
    0.873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.74275764866113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39883500} λ = 0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74275764866113))-π/2
    2×atan(15.5297517005883)-π/2
    2×1.50649257519657-π/2
    3.01298515039315-1.57079632675     		φ = 1.44218882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44218882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.631333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9232 KachelY 1040 0.39883500 1.44218882 22.851562 82.631333
    Oben rechts KachelX + 1 9233 KachelY 1040 0.39921850 1.44218882 22.873535 82.631333
    Unten links KachelX 9232 KachelY + 1 1041 0.39883500 1.44213963 22.851562 82.628514
    Unten rechts KachelX + 1 9233 KachelY + 1 1041 0.39921850 1.44213963 22.873535 82.628514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44218882-1.44213963) × R
    4.91899999999212e-05 × 6371000     		dl = 313.389489999498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44218882-1.44213963) × R
    4.91899999999212e-05 × 6371000     		dr = 313.389489999498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39883500-0.39921850) × cos(1.44218882) × R
    0.000383499999999981 × 0.128253274183776 × 6371000     		do = 313.35846736781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39883500-0.39921850) × cos(1.44213963) × R
    0.000383499999999981 × 0.128302057790369 × 6371000     		du = 313.47765930495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44218882)-sin(1.44213963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.128253274183776-0.128302057790369)×R²
    abs(0.39921850-0.39883500)×4.87836065928837e-05×R²
    0.000383499999999981×4.87836065928837e-05×6371000²
    0.000383499999999981×4.87836065928837e-05×40589641000000     		ar = 98221.9270448275m²