Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9233 / 9233
↖ ↑ ↗
← S 22.289096°
E 22.873535°		 ← 2 260.72 m → S 22.289096°
E 22.895508°		 →
↑
2 260.56 m
↓
↑
2 260.56 m
↓
S 22.309426°
E 22.873535°		 ← 2 260.39 m →
5 110 121 m²		 S 22.309426°
E 22.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563568115234375 y=0.563568115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563568115234375 × 214)
    floor (0.563568115234375 × 16384)
    floor (9233.5)     		tx = 9233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563568115234375 × 214)
    floor (0.563568115234375 × 16384)
    floor (9233.5)     		ty = 9233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9233 / 9233 ti = "14/9233/9233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9233/9233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9233 ÷ 214
    9233 ÷ 16384     		x = 0.56353759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9233 ÷ 214
    9233 ÷ 16384     		y = 0.56353759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56353759765625 × 2 - 1) × π
    0.1270751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39921850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56353759765625 × 2 - 1) × π
    -0.1270751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.399218500035828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39921850} λ = 0.39921850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.399218500035828))-π/2
    2×atan(0.670844105877302)-π/2
    2×0.59088910350213-π/2
    1.18177820700426-1.57079632675     		φ = -0.38901812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39921850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.873535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38901812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.289096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9233 KachelY 9233 0.39921850 -0.38901812 22.873535 -22.289096
    Oben rechts KachelX + 1 9234 KachelY 9233 0.39960200 -0.38901812 22.895508 -22.289096
    Unten links KachelX 9233 KachelY + 1 9234 0.39921850 -0.38937294 22.873535 -22.309426
    Unten rechts KachelX + 1 9234 KachelY + 1 9234 0.39960200 -0.38937294 22.895508 -22.309426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38901812--0.38937294) × R
    0.000354819999999978 × 6371000     		dl = 2260.55821999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38901812--0.38937294) × R
    0.000354819999999978 × 6371000     		dr = 2260.55821999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39921850-0.39960200) × cos(-0.38901812) × R
    0.000383500000000037 × 0.92528191335139 × 6371000     		do = 2260.72140533053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39921850-0.39960200) × cos(-0.38937294) × R
    0.000383500000000037 × 0.925147278950199 × 6371000     		du = 2260.39245599274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38901812)-sin(-0.38937294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92528191335139-0.925147278950199)×R²
    abs(0.39960200-0.39921850)×0.000134634401191103×R²
    0.000383500000000037×0.000134634401191103×6371000²
    0.000383500000000037×0.000134634401191103×40589641000000     		ar = 5110120.60499681m²