Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9249 / 9249
↖ ↑ ↗
← S 22.614011°
E 23.225097°		 ← 2 255.43 m → S 22.614011°
E 23.247070°		 →
↑
2 255.21 m
↓
↑
2 255.21 m
↓
S 22.634293°
E 23.225097°		 ← 2 255.10 m →
5 086 085 m²		 S 22.634293°
E 23.247070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564544677734375 y=0.564544677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564544677734375 × 214)
    floor (0.564544677734375 × 16384)
    floor (9249.5)     		tx = 9249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.564544677734375 × 214)
    floor (0.564544677734375 × 16384)
    floor (9249.5)     		ty = 9249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9249 / 9249 ti = "14/9249/9249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9249/9249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9249 ÷ 214
    9249 ÷ 16384     		x = 0.56451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9249 ÷ 214
    9249 ÷ 16384     		y = 0.56451416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56451416015625 × 2 - 1) × π
    0.1290283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40535442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56451416015625 × 2 - 1) × π
    -0.1290283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.405354423187195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40535442} λ = 0.40535442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.405354423187195))-π/2
    2×atan(0.666740460697848)-π/2
    2×0.588053689983014-π/2
    1.17610737996603-1.57079632675     		φ = -0.39468895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40535442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.225097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.39468895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.614011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9249 KachelY 9249 0.40535442 -0.39468895 23.225097 -22.614011
    Oben rechts KachelX + 1 9250 KachelY 9249 0.40573792 -0.39468895 23.247070 -22.614011
    Unten links KachelX 9249 KachelY + 1 9250 0.40535442 -0.39504293 23.225097 -22.634293
    Unten rechts KachelX + 1 9250 KachelY + 1 9250 0.40573792 -0.39504293 23.247070 -22.634293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.39468895--0.39504293) × R
    0.000353980000000031 × 6371000     		dl = 2255.2065800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.39468895--0.39504293) × R
    0.000353980000000031 × 6371000     		dr = 2255.2065800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40535442-0.40573792) × cos(-0.39468895) × R
    0.000383499999999981 × 0.923116214297387 × 6371000     		do = 2255.42999939409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40535442-0.40573792) × cos(-0.39504293) × R
    0.000383499999999981 × 0.922980043697042 × 6371000     		du = 2255.09729669393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.39468895)-sin(-0.39504293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923116214297387-0.922980043697042)×R²
    abs(0.40573792-0.40535442)×0.000136170600344765×R²
    0.000383499999999981×0.000136170600344765×6371000²
    0.000383499999999981×0.000136170600344765×40589641000000     		ar = 5086085.47181205m²