Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9279 / 9279
↖ ↑ ↗
← S 23.221155°
E 23.884277°		 ← 2 245.29 m → S 23.221155°
E 23.906250°		 →
↑
2 245.14 m
↓
↑
2 245.14 m
↓
S 23.241346°
E 23.884277°		 ← 2 244.95 m →
5 040 609 m²		 S 23.241346°
E 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566375732421875 y=0.566375732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566375732421875 × 214)
    floor (0.566375732421875 × 16384)
    floor (9279.5)     		tx = 9279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566375732421875 × 214)
    floor (0.566375732421875 × 16384)
    floor (9279.5)     		ty = 9279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9279 / 9279 ti = "14/9279/9279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9279/9279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9279 ÷ 214
    9279 ÷ 16384     		x = 0.56634521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9279 ÷ 214
    9279 ÷ 16384     		y = 0.56634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56634521484375 × 2 - 1) × π
    0.1326904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41685928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56634521484375 × 2 - 1) × π
    -0.1326904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.416859279096008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41685928} λ = 0.41685928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.416859279096008))-π/2
    2×atan(0.65911366448912)-π/2
    2×0.58275535812837-π/2
    1.16551071625674-1.57079632675     		φ = -0.40528561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41685928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.884277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40528561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.221155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9279 KachelY 9279 0.41685928 -0.40528561 23.884277 -23.221155
    Oben rechts KachelX + 1 9280 KachelY 9279 0.41724277 -0.40528561 23.906250 -23.221155
    Unten links KachelX 9279 KachelY + 1 9280 0.41685928 -0.40563801 23.884277 -23.241346
    Unten rechts KachelX + 1 9280 KachelY + 1 9280 0.41724277 -0.40563801 23.906250 -23.241346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40528561--0.40563801) × R
    0.000352399999999975 × 6371000     		dl = 2245.14039999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40528561--0.40563801) × R
    0.000352399999999975 × 6371000     		dr = 2245.14039999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41685928-0.41724277) × cos(-0.40528561) × R
    0.000383489999999986 × 0.918989823982152 × 6371000     		do = 2245.28952981261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41685928-0.41724277) × cos(-0.40563801) × R
    0.000383489999999986 × 0.91885082221011 × 6371000     		du = 2244.94991862732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40528561)-sin(-0.40563801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918989823982152-0.91885082221011)×R²
    abs(0.41724277-0.41685928)×0.000139001772042624×R²
    0.000383489999999986×0.000139001772042624×6371000²
    0.000383489999999986×0.000139001772042624×40589641000000     		ar = 5040609.0478476m²