Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 928 / 1952
↖ ↑ ↗
← S 83.359512°
W 16.875000°		 ← 2 260.28 m → S 83.359512°
W 16.699219°		 →
↑
2 256.80 m
↓
↑
2 256.80 m
↓
S 83.379807°
W 16.875000°		 ← 2 253.40 m →
5 093 235 m²		 S 83.379807°
W 16.699219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453369140625 y=0.953369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453369140625 × 211)
    floor (0.453369140625 × 2048)
    floor (928.5)     		tx = 928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.953369140625 × 211)
    floor (0.953369140625 × 2048)
    floor (1952.5)     		ty = 1952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 928 / 1952 ti = "11/928/1952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/928/1952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 928 ÷ 211
    928 ÷ 2048     		x = 0.453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1952 ÷ 211
    1952 ÷ 2048     		y = 0.953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453125 × 2 - 1) × π
    -0.09375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.953125 × 2 - 1) × π
    -0.90625 × 3.1415926535     		Φ = -2.84706834223438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29452431} λ = -0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.84706834223438))-π/2
    2×atan(0.0580141494453179)-π/2
    2×0.057949195618051-π/2
    0.115898391236102-1.57079632675     		φ = -1.45489794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.45489794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.359512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 928 KachelY 1952 -0.29452431 -1.45489794 -16.875000 -83.359512
    Oben rechts KachelX + 1 929 KachelY 1952 -0.29145635 -1.45489794 -16.699219 -83.359512
    Unten links KachelX 928 KachelY + 1 1953 -0.29452431 -1.45525217 -16.875000 -83.379807
    Unten rechts KachelX + 1 929 KachelY + 1 1953 -0.29145635 -1.45525217 -16.699219 -83.379807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.45489794--1.45525217) × R
    0.000354230000000122 × 6371000     		dl = 2256.79933000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.45489794--1.45525217) × R
    0.000354230000000122 × 6371000     		dr = 2256.79933000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29452431--0.29145635) × cos(-1.45489794) × R
    0.00306796000000004 × 0.115639094724005 × 6371000     		do = 2260.27864172213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29452431--0.29145635) × cos(-1.45525217) × R
    0.00306796000000004 × 0.115287233900259 × 6371000     		du = 2253.40117950514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.45489794)-sin(-1.45525217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.115639094724005-0.115287233900259)×R²
    abs(-0.29145635--0.29452431)×0.000351860823745928×R²
    0.00306796000000004×0.000351860823745928×6371000²
    0.00306796000000004×0.000351860823745928×40589641000000     		ar = 5093234.85145491m²