Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 928 / 416
↖ ↑ ↗
← N 72.395706°
W 16.875000°		 ← 5 911.51 m → N 72.395706°
W 16.699219°		 →
↑
5 920.19 m
↓
↑
5 920.19 m
↓
N 72.342464°
W 16.875000°		 ← 5 928.82 m →
35 048 492 m²		 N 72.342464°
W 16.699219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453369140625 y=0.203369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453369140625 × 211)
    floor (0.453369140625 × 2048)
    floor (928.5)     		tx = 928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203369140625 × 211)
    floor (0.203369140625 × 2048)
    floor (416.5)     		ty = 416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 928 / 416 ti = "11/928/416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/928/416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 928 ÷ 211
    928 ÷ 2048     		x = 0.453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 416 ÷ 211
    416 ÷ 2048     		y = 0.203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453125 × 2 - 1) × π
    -0.09375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203125 × 2 - 1) × π
    0.59375 × 3.1415926535     		Φ = 1.86532063801563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29452431} λ = -0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86532063801563))-π/2
    2×atan(6.45800623636149)-π/2
    2×1.41716987783131-π/2
    2.83433975566261-1.57079632675     		φ = 1.26354343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26354343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.395706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 928 KachelY 416 -0.29452431 1.26354343 -16.875000 72.395706
    Oben rechts KachelX + 1 929 KachelY 416 -0.29145635 1.26354343 -16.699219 72.395706
    Unten links KachelX 928 KachelY + 1 417 -0.29452431 1.26261419 -16.875000 72.342464
    Unten rechts KachelX + 1 929 KachelY + 1 417 -0.29145635 1.26261419 -16.699219 72.342464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26354343-1.26261419) × R
    0.000929239999999831 × 6371000     		dl = 5920.18803999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26354343-1.26261419) × R
    0.000929239999999831 × 6371000     		dr = 5920.18803999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29452431--0.29145635) × cos(1.26354343) × R
    0.00306796000000004 × 0.302441330058417 × 6371000     		do = 5911.51011979659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29452431--0.29145635) × cos(1.26261419) × R
    0.00306796000000004 × 0.303326921188956 × 6371000     		du = 5928.81986026485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26354343)-sin(1.26261419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302441330058417-0.303326921188956)×R²
    abs(-0.29145635--0.29452431)×0.000885591130539376×R²
    0.00306796000000004×0.000885591130539376×6371000²
    0.00306796000000004×0.000885591130539376×40589641000000     		ar = 35048492.4907857m²