Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9280 / 1088
↖ ↑ ↗
← N 82.494824°
E 23.906250°		 ← 319.13 m → N 82.494824°
E 23.928223°		 →
↑
319.19 m
↓
↑
319.19 m
↓
N 82.491953°
E 23.906250°		 ← 319.25 m →
101 882 m²		 N 82.491953°
E 23.928223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566436767578125 y=0.066436767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566436767578125 × 214)
    floor (0.566436767578125 × 16384)
    floor (9280.5)     		tx = 9280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.066436767578125 × 214)
    floor (0.066436767578125 × 16384)
    floor (1088.5)     		ty = 1088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9280 / 1088 ti = "14/9280/1088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9280/1088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9280 ÷ 214
    9280 ÷ 16384     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1088 ÷ 214
    1088 ÷ 16384     		y = 0.06640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06640625 × 2 - 1) × π
    0.8671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.72434987920703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72434987920703))-π/2
    2×atan(15.246498638356)-π/2
    2×1.50530130733126-π/2
    3.01060261466252-1.57079632675     		φ = 1.43980629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43980629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.494824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9280 KachelY 1088 0.41724277 1.43980629 23.906250 82.494824
    Oben rechts KachelX + 1 9281 KachelY 1088 0.41762627 1.43980629 23.928223 82.494824
    Unten links KachelX 9280 KachelY + 1 1089 0.41724277 1.43975619 23.906250 82.491953
    Unten rechts KachelX + 1 9281 KachelY + 1 1089 0.41762627 1.43975619 23.928223 82.491953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43980629-1.43975619) × R
    5.00999999999419e-05 × 6371000     		dl = 319.18709999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43980629-1.43975619) × R
    5.00999999999419e-05 × 6371000     		dr = 319.18709999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.41762627) × cos(1.43980629) × R
    0.000383500000000037 × 0.130615761686591 × 6371000     		do = 319.130682290003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.41762627) × cos(1.43975619) × R
    0.000383500000000037 × 0.130665432319214 × 6371000     		du = 319.252041478772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43980629)-sin(1.43975619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130615761686591-0.130665432319214)×R²
    abs(0.41762627-0.41724277)×4.96706326229279e-05×R²
    0.000383500000000037×4.96706326229279e-05×6371000²
    0.000383500000000037×4.96706326229279e-05×40589641000000     		ar = 101881.765167447m²