Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9280 / 9152
↖ ↑ ↗
← S 20.632784°
E 23.906250°		 ← 2 286.56 m → S 20.632784°
E 23.928223°		 →
↑
2 286.36 m
↓
↑
2 286.36 m
↓
S 20.653346°
E 23.906250°		 ← 2 286.25 m →
5 227 552 m²		 S 20.653346°
E 23.928223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566436767578125 y=0.558624267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566436767578125 × 214)
    floor (0.566436767578125 × 16384)
    floor (9280.5)     		tx = 9280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558624267578125 × 214)
    floor (0.558624267578125 × 16384)
    floor (9152.5)     		ty = 9152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9280 / 9152 ti = "14/9280/9152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9280/9152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9280 ÷ 214
    9280 ÷ 16384     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9152 ÷ 214
    9152 ÷ 16384     		y = 0.55859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55859375 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368155389082031))-π/2
    2×atan(0.692009642590627)-π/2
    2×0.605343153890922-π/2
    1.21068630778184-1.57079632675     		φ = -0.36011002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36011002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.632784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9280 KachelY 9152 0.41724277 -0.36011002 23.906250 -20.632784
    Oben rechts KachelX + 1 9281 KachelY 9152 0.41762627 -0.36011002 23.928223 -20.632784
    Unten links KachelX 9280 KachelY + 1 9153 0.41724277 -0.36046889 23.906250 -20.653346
    Unten rechts KachelX + 1 9281 KachelY + 1 9153 0.41762627 -0.36046889 23.928223 -20.653346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36011002--0.36046889) × R
    0.000358870000000011 × 6371000     		dl = 2286.36077000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36011002--0.36046889) × R
    0.000358870000000011 × 6371000     		dr = 2286.36077000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.41762627) × cos(-0.36011002) × R
    0.000383500000000037 × 0.935858060802633 × 6371000     		do = 2286.56187901098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.41762627) × cos(-0.36046889) × R
    0.000383500000000037 × 0.935731542936626 × 6371000     		du = 2286.2527606291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36011002)-sin(-0.36046889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935858060802633-0.935731542936626)×R²
    abs(0.41762627-0.41724277)×0.000126517866007592×R²
    0.000383500000000037×0.000126517866007592×6371000²
    0.000383500000000037×0.000126517866007592×40589641000000     		ar = 5227552.05638096m²