Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9282 / 9282
↖ ↑ ↗
← S 23.281719°
E 23.950195°		 ← 2 244.33 m → S 23.281719°
E 23.972168°		 →
↑
2 244.12 m
↓
↑
2 244.12 m
↓
S 23.301901°
E 23.950195°		 ← 2 243.99 m →
5 036 163 m²		 S 23.301901°
E 23.972168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566558837890625 y=0.566558837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566558837890625 × 214)
    floor (0.566558837890625 × 16384)
    floor (9282.5)     		tx = 9282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566558837890625 × 214)
    floor (0.566558837890625 × 16384)
    floor (9282.5)     		ty = 9282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9282 / 9282 ti = "14/9282/9282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9282/9282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9282 ÷ 214
    9282 ÷ 16384     		x = 0.5665283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9282 ÷ 214
    9282 ÷ 16384     		y = 0.5665283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5665283203125 × 2 - 1) × π
    0.133056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41800976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5665283203125 × 2 - 1) × π
    -0.133056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.41800976468689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41800976} λ = 0.41800976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.41800976468689))-π/2
    2×atan(0.658355799755194)-π/2
    2×0.582226835833476-π/2
    1.16445367166695-1.57079632675     		φ = -0.40634266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41800976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.950195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40634266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.281719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9282 KachelY 9282 0.41800976 -0.40634266 23.950195 -23.281719
    Oben rechts KachelX + 1 9283 KachelY 9282 0.41839326 -0.40634266 23.972168 -23.281719
    Unten links KachelX 9282 KachelY + 1 9283 0.41800976 -0.40669490 23.950195 -23.301901
    Unten rechts KachelX + 1 9283 KachelY + 1 9283 0.41839326 -0.40669490 23.972168 -23.301901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40634266--0.40669490) × R
    0.000352240000000004 × 6371000     		dl = 2244.12104000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40634266--0.40669490) × R
    0.000352240000000004 × 6371000     		dr = 2244.12104000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41800976-0.41839326) × cos(-0.40634266) × R
    0.000383499999999981 × 0.918572535646619 × 6371000     		do = 2244.32852703576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41800976-0.41839326) × cos(-0.40669490) × R
    0.000383499999999981 × 0.91843325494258 × 6371000     		du = 2243.98822548611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40634266)-sin(-0.40669490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918572535646619-0.91843325494258)×R²
    abs(0.41839326-0.41800976)×0.00013928070403868×R²
    0.000383499999999981×0.00013928070403868×6371000²
    0.000383499999999981×0.00013928070403868×40589641000000     		ar = 5036163.08133013m²