Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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7 / 93 / 11
↖ ↑ ↗
← N 81.518272°
E 81.562500°		 ← 46.127 km → N 81.518272°
E 84.375000°		 →
↑
47.264 km
↓
↑
47.264 km
↓
N 81.093214°
E 81.562500°		 ← 48.420 km →
2 234.35 km²		 N 81.093214°
E 84.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 93 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.73046875 y=0.08984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.73046875 × 27)
    floor (0.73046875 × 128)
    floor (93.5)     		tx = 93
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08984375 × 27)
    floor (0.08984375 × 128)
    floor (11.5)     		ty = 11
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 93 / 11 ti = "7/93/11"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/93/11.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 93 ÷ 27
    93 ÷ 128     		x = 0.7265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11 ÷ 27
    11 ÷ 128     		y = 0.0859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7265625 × 2 - 1) × π
    0.453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.42353417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0859375 × 2 - 1) × π
    0.828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60163141617969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.42353417} λ = 1.42353417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60163141617969))-π/2
    2×atan(13.485720921814)-π/2
    2×1.49677928578267-π/2
    2.99355857156534-1.57079632675     		φ = 1.42276224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.42353417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 81.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42276224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.518272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 93 KachelY 11 1.42353417 1.42276224 81.562500 81.518272
    Oben rechts KachelX + 1 94 KachelY 11 1.47262156 1.42276224 84.375000 81.518272
    Unten links KachelX 93 KachelY + 1 12 1.42353417 1.41534358 81.562500 81.093214
    Unten rechts KachelX + 1 94 KachelY + 1 12 1.47262156 1.41534358 84.375000 81.093214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42276224-1.41534358) × R
    0.00741865999999991 × 6371000     		dl = 47264.2828599994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42276224-1.41534358) × R
    0.00741865999999991 × 6371000     		dr = 47264.2828599994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.42353417-1.47262156) × cos(1.42276224) × R
    0.0490873900000002 × 0.147494006831501 × 6371000     		do = 46126.6505711597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.42353417-1.47262156) × cos(1.41534358) × R
    0.0490873900000002 × 0.154827402507351 × 6371000     		du = 48420.0656536207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42276224)-sin(1.41534358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147494006831501-0.154827402507351)×R²
    abs(1.47262156-1.42353417)×0.0073333956758494×R²
    0.0490873900000002×0.0073333956758494×6371000²
    0.0490873900000002×0.0073333956758494×40589641000000     		ar = 2234351617.15276m²