Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 936 / 424
↖ ↑ ↗
← N 29.535229°
E149.062500°		 ← 34.012 km → N 29.535229°
E149.414063°		 →
↑
34.063 km
↓
↑
34.063 km
↓
N 29.228890°
E149.062500°		 ← 34.115 km →
1 160.31 km²		 N 29.228890°
E149.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91455078125 y=0.41455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91455078125 × 210)
    floor (0.91455078125 × 1024)
    floor (936.5)     		tx = 936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41455078125 × 210)
    floor (0.41455078125 × 1024)
    floor (424.5)     		ty = 424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 936 / 424 ti = "10/936/424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/936/424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 936 ÷ 210
    936 ÷ 1024     		x = 0.9140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 424 ÷ 210
    424 ÷ 1024     		y = 0.4140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9140625 × 2 - 1) × π
    0.828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60163142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4140625 × 2 - 1) × π
    0.171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.539961237320313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60163142} λ = 2.60163142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.539961237320313))-π/2
    2×atan(1.71594034644969)-π/2
    2×1.04314166399364-π/2
    2.08628332798729-1.57079632675     		φ = 0.51548700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60163142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51548700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.535229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 936 KachelY 424 2.60163142 0.51548700 149.062500 29.535229
    Oben rechts KachelX + 1 937 KachelY 424 2.60776734 0.51548700 149.414063 29.535229
    Unten links KachelX 936 KachelY + 1 425 2.60163142 0.51014037 149.062500 29.228890
    Unten rechts KachelX + 1 937 KachelY + 1 425 2.60776734 0.51014037 149.414063 29.228890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51548700-0.51014037) × R
    0.00534663000000002 × 6371000     		dl = 34063.3797300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51548700-0.51014037) × R
    0.00534663000000002 × 6371000     		dr = 34063.3797300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60163142-2.60776734) × cos(0.51548700) × R
    0.00613592000000018 × 0.870052754632841 × 6371000     		do = 34012.0555796762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60163142-2.60776734) × cos(0.51014037) × R
    0.00613592000000018 × 0.872675973607667 × 6371000     		du = 34114.6023150257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51548700)-sin(0.51014037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870052754632841-0.872675973607667)×R²
    abs(2.60776734-2.60163142)×0.00262321897482631×R²
    0.00613592000000018×0.00262321897482631×6371000²
    0.00613592000000018×0.00262321897482631×40589641000000     		ar = 1160314872.90999m²