Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 94210 / 12290
↖ ↑ ↗
← N 81.092363°
E 78.755493°		 ← 47.29 m → N 81.092363°
E 78.758240°		 →
↑
47.27 m
↓
↑
47.27 m
↓
N 81.091938°
E 78.755493°		 ← 47.29 m →
2 236 m²		 N 81.091938°
E 78.758240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 94210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.718769073486328 y=0.0937690734863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.718769073486328 × 217)
    floor (0.718769073486328 × 131072)
    floor (94210.5)     		tx = 94210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0937690734863281 × 217)
    floor (0.0937690734863281 × 131072)
    floor (12290.5)     		ty = 12290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 94210 / 12290 ti = "17/94210/12290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/94210/12290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 94210 ÷ 217
    94210 ÷ 131072     		x = 0.718765258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12290 ÷ 217
    12290 ÷ 131072     		y = 0.0937652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.718765258789062 × 2 - 1) × π
    0.437530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.37454266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0937652587890625 × 2 - 1) × π
    0.812469482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55244815716951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.37454266} λ = 1.37454266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55244815716951))-π/2
    2×atan(12.8384959964668)-π/2
    2×1.49306253247072-π/2
    2.98612506494144-1.57079632675     		φ = 1.41532874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.37454266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.755493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41532874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.092363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 94210 KachelY 12290 1.37454266 1.41532874 78.755493 81.092363
    Oben rechts KachelX + 1 94211 KachelY 12290 1.37459060 1.41532874 78.758240 81.092363
    Unten links KachelX 94210 KachelY + 1 12291 1.37454266 1.41532132 78.755493 81.091938
    Unten rechts KachelX + 1 94211 KachelY + 1 12291 1.37459060 1.41532132 78.758240 81.091938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41532874-1.41532132) × R
    7.41999999998022e-06 × 6371000     		dl = 47.272819999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41532874-1.41532132) × R
    7.41999999998022e-06 × 6371000     		dr = 47.272819999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.37454266-1.37459060) × cos(1.41532874) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.154842063542672 × 6371000     		do = 47.2927518408357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.37454266-1.37459060) × cos(1.41532132) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.154849394047546 × 6371000     		du = 47.2949907657113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41532874)-sin(1.41532132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154842063542672-0.154849394047546)×R²
    abs(1.37459060-1.37454266)×7.33050487350395e-06×R²
    4.79400000001906e-05×7.33050487350395e-06×6371000²
    4.79400000001906e-05×7.33050487350395e-06×40589641000000     		ar = 2235.714665032m²