Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 94212 / 12292
↖ ↑ ↗
← N 81.091513°
E 78.760986°		 ← 47.30 m → N 81.091513°
E 78.763733°		 →
↑
47.27 m
↓
↑
47.27 m
↓
N 81.091087°
E 78.760986°		 ← 47.30 m →
2 236 m²		 N 81.091087°
E 78.763733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 94212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.718784332275391 y=0.0937843322753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.718784332275391 × 217)
    floor (0.718784332275391 × 131072)
    floor (94212.5)     		tx = 94212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0937843322753906 × 217)
    floor (0.0937843322753906 × 131072)
    floor (12292.5)     		ty = 12292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 94212 / 12292 ti = "17/94212/12292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/94212/12292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 94212 ÷ 217
    94212 ÷ 131072     		x = 0.718780517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12292 ÷ 217
    12292 ÷ 131072     		y = 0.093780517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.718780517578125 × 2 - 1) × π
    0.43756103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.37463853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093780517578125 × 2 - 1) × π
    0.81243896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.55235228337027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.37463853} λ = 1.37463853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55235228337027))-π/2
    2×atan(12.8372651800816)-π/2
    2×1.49305510947064-π/2
    2.98611021894127-1.57079632675     		φ = 1.41531389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.37463853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.760986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41531389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.091513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 94212 KachelY 12292 1.37463853 1.41531389 78.760986 81.091513
    Oben rechts KachelX + 1 94213 KachelY 12292 1.37468647 1.41531389 78.763733 81.091513
    Unten links KachelX 94212 KachelY + 1 12293 1.37463853 1.41530647 78.760986 81.091087
    Unten rechts KachelX + 1 94213 KachelY + 1 12293 1.37468647 1.41530647 78.763733 81.091087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41531389-1.41530647) × R
    7.41999999998022e-06 × 6371000     		dl = 47.272819999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41531389-1.41530647) × R
    7.41999999998022e-06 × 6371000     		dr = 47.272819999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.37463853-1.37468647) × cos(1.41531389) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.154856734423263 × 6371000     		do = 47.2972327053967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.37463853-1.37468647) × cos(1.41530647) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.154864064911074 × 6371000     		du = 47.2994716250609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41531389)-sin(1.41530647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154856734423263-0.154864064911074)×R²
    abs(1.37468647-1.37463853)×7.33048781070833e-06×R²
    4.79400000001906e-05×7.33048781070833e-06×6371000²
    4.79400000001906e-05×7.33048781070833e-06×40589641000000     		ar = 2235.92648832987m²