Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9471 / 9471
↖ ↑ ↗
← S 27.039557°
E 28.103028°		 ← 2 176.15 m → S 27.039557°
E 28.125000°		 →
↑
2 176.02 m
↓
↑
2 176.02 m
↓
S 27.059126°
E 28.103028°		 ← 2 175.77 m →
4 734 931 m²		 S 27.059126°
E 28.125000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578094482421875 y=0.578094482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578094482421875 × 214)
    floor (0.578094482421875 × 16384)
    floor (9471.5)     		tx = 9471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578094482421875 × 214)
    floor (0.578094482421875 × 16384)
    floor (9471.5)     		ty = 9471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9471 / 9471 ti = "14/9471/9471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9471/9471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9471 ÷ 214
    9471 ÷ 16384     		x = 0.57806396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9471 ÷ 214
    9471 ÷ 16384     		y = 0.57806396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57806396484375 × 2 - 1) × π
    0.1561279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49049036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57806396484375 × 2 - 1) × π
    -0.1561279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.490490356912415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49049036} λ = 0.49049036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.490490356912415))-π/2
    2×atan(0.612326062238241)-π/2
    2×0.549433517910133-π/2
    1.09886703582027-1.57079632675     		φ = -0.47192929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49049036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.103028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47192929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.039557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9471 KachelY 9471 0.49049036 -0.47192929 28.103028 -27.039557
    Oben rechts KachelX + 1 9472 KachelY 9471 0.49087385 -0.47192929 28.125000 -27.039557
    Unten links KachelX 9471 KachelY + 1 9472 0.49049036 -0.47227084 28.103028 -27.059126
    Unten rechts KachelX + 1 9472 KachelY + 1 9472 0.49087385 -0.47227084 28.125000 -27.059126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47192929--0.47227084) × R
    0.000341550000000024 × 6371000     		dl = 2176.01505000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47192929--0.47227084) × R
    0.000341550000000024 × 6371000     		dr = 2176.01505000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49049036-0.49087385) × cos(-0.47192929) × R
    0.000383489999999986 × 0.890692880476496 × 6371000     		do = 2176.1540189278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49049036-0.49087385) × cos(-0.47227084) × R
    0.000383489999999986 × 0.890537558006442 × 6371000     		du = 2175.77453277174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47192929)-sin(-0.47227084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890692880476496-0.890537558006442)×R²
    abs(0.49087385-0.49049036)×0.000155322470054564×R²
    0.000383489999999986×0.000155322470054564×6371000²
    0.000383489999999986×0.000155322470054564×40589641000000     		ar = 4734931.05854173m²