Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 95 / 159
↖ ↑ ↗
← S 39.909736°
W 46.406250°		 ← 119.943 km → S 39.909736°
W 45.000000°		 →
↑
118.997 km
↓
↑
118.997 km
↓
S 40.979898°
W 46.406250°		 ← 118.048 km →
14 160.5 km²		 S 40.979898°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 95 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373046875 y=0.623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373046875 × 28)
    floor (0.373046875 × 256)
    floor (95.5)     		tx = 95
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623046875 × 28)
    floor (0.623046875 × 256)
    floor (159.5)     		ty = 159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 95 / 159 ti = "8/95/159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/95/159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 95 ÷ 28
    95 ÷ 256     		x = 0.37109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 159 ÷ 28
    159 ÷ 256     		y = 0.62109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37109375 × 2 - 1) × π
    -0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62109375 × 2 - 1) × π
    -0.2421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.760854470769531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80994186} λ = -0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.760854470769531))-π/2
    2×atan(0.467266990395897)-π/2
    2×0.43712001295821-π/2
    0.87424002591642-1.57079632675     		φ = -0.69655630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69655630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.909736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 95 KachelY 159 -0.80994186 -0.69655630 -46.406250 -39.909736
    Oben rechts KachelX + 1 96 KachelY 159 -0.78539816 -0.69655630 -45.000000 -39.909736
    Unten links KachelX 95 KachelY + 1 160 -0.80994186 -0.71523415 -46.406250 -40.979898
    Unten rechts KachelX + 1 96 KachelY + 1 160 -0.78539816 -0.71523415 -45.000000 -40.979898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69655630--0.71523415) × R
    0.01867785 × 6371000     		dl = 118996.58235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69655630--0.71523415) × R
    0.01867785 × 6371000     		dr = 118996.58235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80994186--0.78539816) × cos(-0.69655630) × R
    0.0245437000000001 × 0.767056140195237 × 6371000     		do = 119942.967566048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80994186--0.78539816) × cos(-0.71523415) × R
    0.0245437000000001 × 0.754939707695381 × 6371000     		du = 118048.346306675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69655630)-sin(-0.71523415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767056140195237-0.754939707695381)×R²
    abs(-0.78539816--0.80994186)×0.0121164324998558×R²
    0.0245437000000001×0.0121164324998558×6371000²
    0.0245437000000001×0.0121164324998558×40589641000000     		ar = 14160488163.7607m²