Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 95 / 31
↖ ↑ ↗
← N 79.432371°
W 46.406250°		 ← 28.677 km → N 79.432371°
W 45.000000°		 →
↑
29.026 km
↓
↑
29.026 km
↓
N 79.171334°
W 46.406250°		 ← 29.377 km →
842.544 km²		 N 79.171334°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 95 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373046875 y=0.123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373046875 × 28)
    floor (0.373046875 × 256)
    floor (95.5)     		tx = 95
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123046875 × 28)
    floor (0.123046875 × 256)
    floor (31.5)     		ty = 31
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 95 / 31 ti = "8/95/31"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/95/31.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 95 ÷ 28
    95 ÷ 256     		x = 0.37109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31 ÷ 28
    31 ÷ 256     		y = 0.12109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37109375 × 2 - 1) × π
    -0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12109375 × 2 - 1) × π
    0.7578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38073818273047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80994186} λ = -0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38073818273047))-π/2
    2×atan(10.8128818012243)-π/2
    2×1.4785763645972-π/2
    2.9571527291944-1.57079632675     		φ = 1.38635640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38635640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.432371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 95 KachelY 31 -0.80994186 1.38635640 -46.406250 79.432371
    Oben rechts KachelX + 1 96 KachelY 31 -0.78539816 1.38635640 -45.000000 79.432371
    Unten links KachelX 95 KachelY + 1 32 -0.80994186 1.38180046 -46.406250 79.171334
    Unten rechts KachelX + 1 96 KachelY + 1 32 -0.78539816 1.38180046 -45.000000 79.171334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38635640-1.38180046) × R
    0.00455593999999993 × 6371000     		dl = 29025.8937399995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38635640-1.38180046) × R
    0.00455593999999993 × 6371000     		dr = 29025.8937399995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80994186--0.78539816) × cos(1.38635640) × R
    0.0245437000000001 × 0.183395988450163 × 6371000     		do = 28677.2479115053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80994186--0.78539816) × cos(1.38180046) × R
    0.0245437000000001 × 0.187872736870527 × 6371000     		du = 29377.2677176807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38635640)-sin(1.38180046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183395988450163-0.187872736870527)×R²
    abs(-0.78539816--0.80994186)×0.00447674842036452×R²
    0.0245437000000001×0.00447674842036452×6371000²
    0.0245437000000001×0.00447674842036452×40589641000000     		ar = 842543558.251278m²