Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 95 / 96
↖ ↑ ↗
← S 66.513260°
E 87.187500°		 ← 124.637 km → S 66.513260°
E 90.000000°		 →
↑
121.865 km
↓
↑
121.865 km
↓
S 67.609220°
E 87.187500°		 ← 119.128 km →
14 853.7 km²		 S 67.609220°
E 90.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 95 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74609375 y=0.75390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74609375 × 27)
    floor (0.74609375 × 128)
    floor (95.5)     		tx = 95
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75390625 × 27)
    floor (0.75390625 × 128)
    floor (96.5)     		ty = 96
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 95 / 96 ti = "7/95/96"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/95/96.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 95 ÷ 27
    95 ÷ 128     		x = 0.7421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96 ÷ 27
    96 ÷ 128     		y = 0.75
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7421875 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52170894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75 × 2 - 1) × π
    -0.5 × 3.1415926535     		Φ = -1.57079632675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52170894} λ = 1.52170894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57079632675))-π/2
    2×atan(0.207879576360095)-π/2
    2×0.204960467921993-π/2
    0.409920935843985-1.57079632675     		φ = -1.16087539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52170894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16087539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.513260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 95 KachelY 96 1.52170894 -1.16087539 87.187500 -66.513260
    Oben rechts KachelX + 1 96 KachelY 96 1.57079633 -1.16087539 90.000000 -66.513260
    Unten links KachelX 95 KachelY + 1 97 1.52170894 -1.18000350 87.187500 -67.609220
    Unten rechts KachelX + 1 96 KachelY + 1 97 1.57079633 -1.18000350 90.000000 -67.609220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16087539--1.18000350) × R
    0.01912811 × 6371000     		dl = 121865.18881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16087539--1.18000350) × R
    0.01912811 × 6371000     		dr = 121865.18881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52170894-1.57079633) × cos(-1.16087539) × R
    0.0490873900000002 × 0.398536816226928 × 6371000     		do = 124636.714784236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52170894-1.57079633) × cos(-1.18000350) × R
    0.0490873900000002 × 0.380921588243505 × 6371000     		du = 119127.803043498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16087539)-sin(-1.18000350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398536816226928-0.380921588243505)×R²
    abs(1.57079633-1.52170894)×0.0176152279834228×R²
    0.0490873900000002×0.0176152279834228×6371000²
    0.0490873900000002×0.0176152279834228×40589641000000     		ar = 14853657391.5875m²