Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 96 / 32
↖ ↑ ↗
← N 66.513260°
E 90.000000°		 ← 124.637 km → N 66.513260°
E 92.812500°		 →
↑
127.476 km
↓
↑
127.476 km
↓
N 65.366837°
E 90.000000°		 ← 130.350 km →
16 253 km²		 N 65.366837°
E 92.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75390625 y=0.25390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75390625 × 27)
    floor (0.75390625 × 128)
    floor (96.5)     		tx = 96
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25390625 × 27)
    floor (0.25390625 × 128)
    floor (32.5)     		ty = 32
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 96 / 32 ti = "7/96/32"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/96/32.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96 ÷ 27
    96 ÷ 128     		x = 0.75
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32 ÷ 27
    32 ÷ 128     		y = 0.25
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Λ = 1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Φ = 1.57079632675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57079633} λ = 1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57079632675))-π/2
    2×atan(4.81047738074938)-π/2
    2×1.3658358588729-π/2
    2.73167171774581-1.57079632675     		φ = 1.16087539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16087539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.513260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96 KachelY 32 1.57079633 1.16087539 90.000000 66.513260
    Oben rechts KachelX + 1 97 KachelY 32 1.61988371 1.16087539 92.812500 66.513260
    Unten links KachelX 96 KachelY + 1 33 1.57079633 1.14086653 90.000000 65.366837
    Unten rechts KachelX + 1 97 KachelY + 1 33 1.61988371 1.14086653 92.812500 65.366837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16087539-1.14086653) × R
    0.0200088599999999 × 6371000     		dl = 127476.447059999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16087539-1.14086653) × R
    0.0200088599999999 × 6371000     		dr = 127476.447059999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57079633-1.61988371) × cos(1.16087539) × R
    0.04908738 × 0.398536816226928 × 6371000     		do = 124636.689393455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57079633-1.61988371) × cos(1.14086653) × R
    0.04908738 × 0.416806989093035 × 6371000     		du = 130350.424656953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16087539)-sin(1.14086653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398536816226928-0.416806989093035)×R²
    abs(1.61988371-1.57079633)×0.018270172866107×R²
    0.04908738×0.018270172866107×6371000²
    0.04908738×0.018270172866107×40589641000000     		ar = 16252967921.9409m²