Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9600 / 9344
↖ ↑ ↗
← S 24.527135°
E 30.937500°		 ← 2 222.75 m → S 24.527135°
E 30.959473°		 →
↑
2 222.59 m
↓
↑
2 222.59 m
↓
S 24.547123°
E 30.937500°		 ← 2 222.40 m →
4 939 864 m²		 S 24.547123°
E 30.959473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585968017578125 y=0.570343017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585968017578125 × 214)
    floor (0.585968017578125 × 16384)
    floor (9600.5)     		tx = 9600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.570343017578125 × 214)
    floor (0.570343017578125 × 16384)
    floor (9344.5)     		ty = 9344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9600 / 9344 ti = "14/9600/9344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9600/9344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9600 ÷ 214
    9600 ÷ 16384     		x = 0.5859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9344 ÷ 214
    9344 ÷ 16384     		y = 0.5703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5859375 × 2 - 1) × π
    0.171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.53996124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5703125 × 2 - 1) × π
    -0.140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.441786466898437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53996124} λ = 0.53996124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.441786466898437))-π/2
    2×atan(0.642886898433291)-π/2
    2×0.571358534035749-π/2
    1.1427170680715-1.57079632675     		φ = -0.42807926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53996124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42807926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.527135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9600 KachelY 9344 0.53996124 -0.42807926 30.937500 -24.527135
    Oben rechts KachelX + 1 9601 KachelY 9344 0.54034473 -0.42807926 30.959473 -24.527135
    Unten links KachelX 9600 KachelY + 1 9345 0.53996124 -0.42842812 30.937500 -24.547123
    Unten rechts KachelX + 1 9601 KachelY + 1 9345 0.54034473 -0.42842812 30.959473 -24.547123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42807926--0.42842812) × R
    0.000348860000000006 × 6371000     		dl = 2222.58706000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42807926--0.42842812) × R
    0.000348860000000006 × 6371000     		dr = 2222.58706000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53996124-0.54034473) × cos(-0.42807926) × R
    0.000383490000000042 × 0.909764772910752 × 6371000     		do = 2222.75074859678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53996124-0.54034473) × cos(-0.42842812) × R
    0.000383490000000042 × 0.90961989734285 × 6371000     		du = 2222.39678646657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42807926)-sin(-0.42842812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909764772910752-0.90961989734285)×R²
    abs(0.54034473-0.53996124)×0.000144875567902103×R²
    0.000383490000000042×0.000144875567902103×6371000²
    0.000383490000000042×0.000144875567902103×40589641000000     		ar = 4939863.7457111m²