Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 961 / 1473
↖ ↑ ↗
← S 61.689872°
W 11.074219°		 ← 9 269.56 m → S 61.689872°
W 10.898438°		 →
↑
9 257.06 m
↓
↑
9 257.06 m
↓
S 61.773123°
W 11.074219°		 ← 9 244.54 m →
85 693 118 m²		 S 61.773123°
W 10.898438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469482421875 y=0.719482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469482421875 × 211)
    floor (0.469482421875 × 2048)
    floor (961.5)     		tx = 961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719482421875 × 211)
    floor (0.719482421875 × 2048)
    floor (1473.5)     		ty = 1473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 961 / 1473 ti = "11/961/1473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/961/1473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 961 ÷ 211
    961 ÷ 2048     		x = 0.46923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1473 ÷ 211
    1473 ÷ 2048     		y = 0.71923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19328158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71923828125 × 2 - 1) × π
    -0.4384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37751474748193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19328158} λ = -0.19328158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37751474748193))-π/2
    2×atan(0.252204566871227)-π/2
    2×0.247052470890511-π/2
    0.494104941781022-1.57079632675     		φ = -1.07669138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19328158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07669138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.689872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 961 KachelY 1473 -0.19328158 -1.07669138 -11.074219 -61.689872
    Oben rechts KachelX + 1 962 KachelY 1473 -0.19021362 -1.07669138 -10.898438 -61.689872
    Unten links KachelX 961 KachelY + 1 1474 -0.19328158 -1.07814438 -11.074219 -61.773123
    Unten rechts KachelX + 1 962 KachelY + 1 1474 -0.19021362 -1.07814438 -10.898438 -61.773123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07669138--1.07814438) × R
    0.00145299999999993 × 6371000     		dl = 9257.06299999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07669138--1.07814438) × R
    0.00145299999999993 × 6371000     		dr = 9257.06299999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19328158--0.19021362) × cos(-1.07669138) × R
    0.00306796000000001 × 0.474243842283262 × 6371000     		do = 9269.55741256393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19328158--0.19021362) × cos(-1.07814438) × R
    0.00306796000000001 × 0.472964130311865 × 6371000     		du = 9244.54419671849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07669138)-sin(-1.07814438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474243842283262-0.472964130311865)×R²
    abs(-0.19021362--0.19328158)×0.00127971197139626×R²
    0.00306796000000001×0.00127971197139626×6371000²
    0.00306796000000001×0.00127971197139626×40589641000000     		ar = 85693117.5690962m²