Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 961 / 191
↖ ↑ ↗
← N 74.116047°
E157.851562°		 ← 10.699 km → N 74.116047°
E158.203125°		 →
↑
10.731 km
↓
↑
10.731 km
↓
N 74.019543°
E157.851562°		 ← 10.762 km →
115.149 km²		 N 74.019543°
E158.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93896484375 y=0.18701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93896484375 × 210)
    floor (0.93896484375 × 1024)
    floor (961.5)     		tx = 961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.18701171875 × 210)
    floor (0.18701171875 × 1024)
    floor (191.5)     		ty = 191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 961 / 191 ti = "10/961/191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/961/191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 961 ÷ 210
    961 ÷ 1024     		x = 0.9384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 191 ÷ 210
    191 ÷ 1024     		y = 0.1865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9384765625 × 2 - 1) × π
    0.876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.75502949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1865234375 × 2 - 1) × π
    0.626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96963133158887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.75502949} λ = 2.75502949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96963133158887))-π/2
    2×atan(7.16803337368528)-π/2
    2×1.43218268634546-π/2
    2.86436537269092-1.57079632675     		φ = 1.29356905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.75502949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29356905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.116047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 961 KachelY 191 2.75502949 1.29356905 157.851562 74.116047
    Oben rechts KachelX + 1 962 KachelY 191 2.76116542 1.29356905 158.203125 74.116047
    Unten links KachelX 961 KachelY + 1 192 2.75502949 1.29188474 157.851562 74.019543
    Unten rechts KachelX + 1 962 KachelY + 1 192 2.76116542 1.29188474 158.203125 74.019543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29356905-1.29188474) × R
    0.00168431000000013 × 6371000     		dl = 10730.7390100008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29356905-1.29188474) × R
    0.00168431000000013 × 6371000     		dr = 10730.7390100008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.75502949-2.76116542) × cos(1.29356905) × R
    0.00613593000000012 × 0.273689848953736 × 6371000     		do = 10699.0863204089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.75502949-2.76116542) × cos(1.29188474) × R
    0.00613593000000012 × 0.275309459649329 × 6371000     		du = 10762.4001579657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29356905)-sin(1.29188474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.273689848953736-0.275309459649329)×R²
    abs(2.76116542-2.75502949)×0.00161961069559335×R²
    0.00613593000000012×0.00161961069559335×6371000²
    0.00613593000000012×0.00161961069559335×40589641000000     		ar = 115148832.305183m²