Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 97 / 31
↖ ↑ ↗
← N 67.609220°
E 92.812500°		 ← 119.128 km → N 67.609220°
E 95.625000°		 →
↑
121.865 km
↓
↑
121.865 km
↓
N 66.513260°
E 92.812500°		 ← 124.637 km →
14 853.7 km²		 N 66.513260°
E 95.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76171875 y=0.24609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76171875 × 27)
    floor (0.76171875 × 128)
    floor (97.5)     		tx = 97
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24609375 × 27)
    floor (0.24609375 × 128)
    floor (31.5)     		ty = 31
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 97 / 31 ti = "7/97/31"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/97/31.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97 ÷ 27
    97 ÷ 128     		x = 0.7578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31 ÷ 27
    31 ÷ 128     		y = 0.2421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7578125 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.61988371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2421875 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.61988371196094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61988371} λ = 1.61988371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61988371196094))-π/2
    2×atan(5.05250273676466)-π/2
    2×1.37539991552054-π/2
    2.75079983104107-1.57079632675     		φ = 1.18000350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61988371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18000350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.609220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97 KachelY 31 1.61988371 1.18000350 92.812500 67.609220
    Oben rechts KachelX + 1 98 KachelY 31 1.66897110 1.18000350 95.625000 67.609220
    Unten links KachelX 97 KachelY + 1 32 1.61988371 1.16087539 92.812500 66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 98 KachelY + 1 32 1.66897110 1.16087539 95.625000 66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18000350-1.16087539) × R
    0.01912811 × 6371000     		dl = 121865.18881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18000350-1.16087539) × R
    0.01912811 × 6371000     		dr = 121865.18881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61988371-1.66897110) × cos(1.18000350) × R
    0.04908739 × 0.380921588243505 × 6371000     		do = 119127.803043497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61988371-1.66897110) × cos(1.16087539) × R
    0.04908739 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 124636.714784236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18000350)-sin(1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380921588243505-0.398536816226928)×R²
    abs(1.66897110-1.61988371)×0.0176152279834228×R²
    0.04908739×0.0176152279834228×6371000²
    0.04908739×0.0176152279834228×40589641000000     		ar = 14853657391.5874m²